树状数组（binary index tree）

概述

       修改和查询复杂度为log（n）的数据结构，所有奇数位的数和原数位置相同，偶数位置是原数组若干位置的和。

       假如原数组A(a₁, a₂, a₃, a₄ ...)，和其对应的树状数组C(c₁, c₂, c₃, c₄ ...)有如下关系：

      

C1 = A1

C2 = A1 + A2

C3 = A3

C4 = A1 + A2 + A3 + A4

C5 = A5

C6 = A5 + A6

C7 = A7

C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8

数组的有几个位置组成由坐标的最低位决定，所谓的最低位，就是二进制数的最右边的一个1开始，加上后面的0(如果有的话)组成的数字，例如1到8的最低位如下面所。

坐标          二进制          最低位

1               0001          1

2               0010          2

3               0011          1

4               0100          4

5               0101          1

6               0110          2

7               0111          1

8               1000          8

...

最低位的计算方法有两种，一种是x&(x^(x–1))，另一种是利用补码特性x&-x。

找节点的父节点 ；

public class NumArray {

    int[] nums;
    int[] bit;
    int n;
    
    public NumArray(int[] nums) {
        this.nums = nums;
        n = nums.length;
        bit = new int[n + 1];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            init(i, nums[i]);
        }
    }
    public void init(int i, int val) {
        i++;
        while (i <= n) {
            bit[i] += val;
            i += (i & -i);
        }
    }
    
    public void update(int i, int val) {
        int diff = val - nums[i];
        nums[i] = val;
        init(i, diff);
    }
    public int getSum(int i) {
        int res = 0;
        i++;
        while (i > 0) {
            res += bit[i];
            i -= (i & -i);
        }
        return res;
    }
    public int sumRange(int i, int j) {
        return getSum(j) - getSum(i-1);
    }
}