离散数学
数学语言与证明方法
集合
-
幂集
-
运算
- 交集
- 并集
- 相对补集
- 绝对补集
- 对称差集
-
运算律
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 德摩根律
-
恒等式
证明方法
- 直接证明
- 归谬法
- 分情况证明
- 构造性证明
- 数学归纳法
命题逻辑
命题
-
简单命题p,q,r
-
复合命题
-
基本复合命题
- 五种
-
复杂复合命题
-
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真值
- 真命题
- 假命题
-
命题符号化
联结词
-
否定联结词(lnot)
- 否定式
-
合取联结词(land)
- 合取式
-
析取联结词(lor)
-
析取式
- 相容或(plor q)
- 排斥或((lnot pland q)lor(pland lnot q))
-
-
蕴含联结词
-
蕴含式
-
p->q
-
真值
- p真q假，p->q为真
- 其他全为真
-
-
前件p
-
后件q
-
-
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等价联结词
-
等价式
-
p<->q
-
真值
- p,q真值相同，p<->q为真
- 不同为假
-
-
‘当且仅当’
-
-
公式
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命题
-
常项
- p,q,r为定值
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变项
- p,q,r为变量
-
-
合式公式/命题公式
-
A，B，C，D
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永真式
- 重言式
-
永假式
- 矛盾式
-
可满足式
-
-
-
赋值/解释
- 成真赋值
- 成假赋值
-
等值演算
-
A<->B，则A<=>B
- 等价式为重言式
-
常用等值公式
- 蕴含等值式 (A ightarrow BLeftrightarrowlnot Alor B)
- 德摩根律 (lnot (Alor B)Leftrightarrow lnot A land lnot B)
-
联结词集
-
优先顺序
-
扩展
-
与非联结词
- (puparrow qLeftrightarrow lnot(pland q))
-
或非联结词
- (pdownarrow qLeftrightarrow lnot(plor q))
-
-
联结词完备集
- (1)(S={lnot,land,lor})
- (2)(S={uparrow})
- (3)(S={downarrow})
范式
-
分类
-
析取范式
-
主析取范式
- 极大项
-
-
合取范式
-
主合取范式
- 极小项
-
-
-
计算
推理
-
概念
-
蕴含式为重言式
- (Rightarrow)
-
-
形式结构
-
((A_1land A_2 land ...land A_k)Rightarrow B)
- 前提
- 结论
-
-
证明
-
推理规则
-
前提引入
-
结论引入
-
置换规则
-
等值置换
- (ALeftrightarrow B:ARightarrow B;BRightarrow A)
-
-
推理定律
-
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特殊证明方法
-
附加前提证明法
- ((A_1land A_2 land ...land A_k)Rightarrow A ightarrow B)
- ((A_1land A_2 land ...land A_k land A)Rightarrow B)
-
归结证明法
-
归结规则
- ((Llor C_1)land (lnot Llor C_2)Rightarrow C_1lor C_2)
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基本思想
- 归谬法
-
证明步骤
- 结论的否定引入前提
- 把所有前提化成合取范式，并将简单析取式作为单个前提
- 归结规则进行推理
- 推出0则推理正确
-
-
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一阶逻辑
表达个体与总体之间的内在联系与数量关系
概念
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个体词
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个体常项
- a,b,c....
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个体变项
- 个体域
- x,y,z....
-
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谓词
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谓词常项
- 表示具体性质或关系
- 子主题 2
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谓词变项
- 表示抽象性质或关系
- F，G....
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0元谓词
- 不带个体变项的谓词
- 当谓词为谓词常项时为命题
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量词
- 全称量词
- 存在量词
符号化
- 不同个体域形式可能不同
- 引入特性谓词
公式
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分类
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原子公式
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合式公式/谓词公式
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闭式
- A中不含自由出现的个体变项
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概念
- x:指导变元
- A:辖域
- x在A中约束出现
- A中出现的除x所有其他个体变项都为自由出现
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解释/赋值
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定义
-
封闭的公式在任何解释下都变成命题
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分类
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永真式/逻辑有效式
- A在任何解释和任何赋值下均为真
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永假式/矛盾式
- A在任何解释和任何赋值下均为假
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可满足式
- 至少存在一个解释和一个赋值使A为真
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代换实例
- 重言式的代换实例都是重言式
- 矛盾式的代换实例都是矛盾式
-
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等值演算
-
命题逻辑的代换实例
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等值式
- 消去量词等值式
- 量词否定等值式
- 量词辖域收缩与扩张等值式
- 量词分配等值式
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规则
- 置换规则
- 换名规则
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前束范式
- 存在但不唯一
- 利用等值演算求前束范式
