codeforces 917D Stranger Trees

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正解：矩阵树定理+拉格朗日插值。

一下午就搞了这一道题，看鬼畜英文题解看了好久。。

首先这题出题人给了两种做法，感觉容斥+$prufer$序列+$dp$的做法细节有点多所以没看，然而这个做法似乎更难想。。

我们先构造一个函数$f(x)$，表示用一个完全图和$x-1$棵原树的边，构成的生成树的方案数。

也就是说，原树的每条边复制成$x$条，不在原树的边都变成一条边，求这个图的生成树的方案数。

然后我们可以发现，这个方案数实际上就等于$sum_{i=0}^{n-1}x^{i}*ans_{i}$，其中$ans_{i}$表示询问的恰好有$i$条边的答案。

稍微解释一下，我们选定了原树的$i$条边，那么原树这$i$条边每条边就有$x$种选择，其他边只有$1$种选择。

然后现在我们的目标就变成了求出这个函数所表示的多项式的系数。

那么我们可以算出$x$取$[1,n]$的答案，用拉格朗日插值求出多项式，计算答案可以用矩阵树定理。

复杂度为$O(n^{4}+n^{3})$，写完题解以后发现也不是很难。。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (1000000007)
#define N (105)

using namespace std;

int a[N][N],g[N][N],p[N],ans[N],fac[N],ifac[N],inv[N],n,len;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
  return q*x;
}

il int qpow(RG int a,RG int b){
  RG int ans=1;
  while (b){
    if (b&1) ans=1LL*ans*a%rhl;
    if (b>>=1) a=1LL*a*a%rhl;
  }
  return ans;
}

il int gauss(){
  RG int res=1;
  for (RG int i=1,id,inv;i<n;++i){
    for (id=i;id<n && !a[id][i];++id); if (id>=n) return 0;
    if (id!=i){
      for (RG int j=1;j<n;++j) swap(a[i][j],a[id][j]);
      res=-res;
    }
    res=1LL*res*a[i][i]%rhl,inv=qpow(a[i][i],rhl-2);
    for (RG int j=i+1,tmp;j<n;++j){
      if (!a[j][i]) continue;
      tmp=1LL*a[j][i]*inv%rhl;
      for (RG int k=i;k<n;++k)
    a[j][k]=(a[j][k]-1LL*a[i][k]*tmp)%rhl;
    }
  }
  return (res+rhl)%rhl;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("stranger.in","r",stdin);
  freopen("stranger.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),fac[0]=ifac[0]=1;
  for (RG int i=1;i<=n;++i){
    inv[i]=i==1?1:1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
    fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%rhl;
    ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%rhl;
  }
  for (RG int i=1,u,v;i<n;++i)
    u=gi(),v=gi(),g[u][v]=g[v][u]=1;
  for (RG int k=1;k<=n;++k){
    for (RG int i=1;i<=n;++i)
      for (RG int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=0;
    for (RG int i=1;i<n;++i)
      for (RG int j=i+1,tmp;j<=n;++j){
    tmp=g[i][j] ? k : 1;
    a[i][j]-=tmp,a[j][i]-=tmp;
    a[i][i]+=tmp,a[j][j]+=tmp;
      }
    p[len=0]=1LL*gauss()*ifac[k-1]%rhl*ifac[n-k]%rhl;
    if ((n-k)&1) p[0]=rhl-p[0];
    for (RG int t=1,tmp;t<=n;++t){
      if (k==t) continue; tmp=rhl-t;
      for (RG int i=++len;~i;--i)
    p[i]=(1LL*tmp*p[i]+(i?p[i-1]:0))%rhl;
    }
    for (RG int i=0;i<=len;++i){
      ans[i]+=p[i],p[i]=0; if (ans[i]>=rhl) ans[i]-=rhl;
    }
  }
  for (RG int i=0;i<n;++i) printf("%d ",ans[i]); return 0;
}