bzoj4710 [Jsoi2011]分特产

Description

JYY 带队参加了若干场ACM/ICPC 比赛，带回了许多土特产，要分给实验室的同学们。

JYY 想知道，把这些特产分给N 个同学，一共有多少种不同的分法？当然，JYY 不希望任何一个同学因为没有拿到特产而感到失落，所以每个同学都必须至少分得一个特产。

例如，JYY 带来了2 袋麻花和1 袋包子，分给A 和B 两位同学，那么共有4 种不同的分配方法：

A：麻花，B：麻花、包子

A：麻花、麻花，B：包子

A：包子，B：麻花、麻花

A：麻花、包子，B：麻花

Input

输入数据第一行是同学的数量N 和特产的数量M。

第二行包含M 个整数，表示每一种特产的数量。

N, M 不超过1000，每一种特产的数量不超过1000

Output

输出一行，不同分配方案的总数。由于输出结果可能非常巨大，你只需要输出最终结果

MOD 1,000,000,007 的数值就可以了。

Sample Input

5 4
1 3 3 5

Sample Output

384835

正解：组合数学+容斥原理。

因为要保证每个人都有特产，所以很不好处理。我们可以考虑容斥，即求出所有情况，再减去至少一个人没有特产的情况，再加上至少两个人没有特产的情况。。。以此类推

设$n$个人的所有情况为$f[n]$。显然我们可以分开考虑每一种特产，对于每一种特产我们就是要把它丢到$n$个人里，且可以有人没有特产，那么答案就是可重组合$inom{n+r-1}{n-1}$，把所有的特产的方案乘起来，得到$f[n]$的值。

然后容斥，$Ans=inom{n}{0}f[n]-inom{n}{1}f[n-1]+inom{n}{2}f[n-2]-...$，于是这道题就做完了。

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (1000000007)
#define N (3010)

using namespace std;

int fac[N],ifac[N],inv[N],a[N],n,m,ans;

il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}

il int C(RG int n,RG int m){
  if (n<m) return 0;
  return 1LL*fac[n]*ifac[m]%rhl*ifac[n-m]%rhl;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("product.in","r",stdin);
  freopen("product.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),m=gi();
  for (RG int i=1;i<=m;++i) a[i]=gi();
  fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=inv[1]=1;
  for (RG int i=2;i<=3000;++i){
    fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%rhl;
    inv[i]=1LL*(rhl-rhl/i)*inv[rhl%i]%rhl;
    ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%rhl;
  }
  for (RG int i=1,res;i<=n;++i){
    res=1;
    for (RG int j=1;j<=m;++j)
      res=1LL*res*C(i+a[j]-1,i-1)%rhl;
    if ((n-i)&1){
      ans=(ans-1LL*res*C(n,n-i))%rhl;
      if (ans<0) ans+=rhl;
    } else ans=(ans+1LL*res*C(n,n-i))%rhl;
  }
  cout<<ans; return 0;
}