bzoj5020 [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游

Description

数字和数学规律主宰着这个世界。 

机器的运转，

生命的消长，

宇宙的进程，

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

这印证了一句古老的名言：

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

    正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

    指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

    一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。 

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

    f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

    f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

    f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

    appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

    disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

    magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

    travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v 

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

 若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

Sample Input

3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5

Sample Output

9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000

 

正解：$link-cut tree$+泰勒展开。

这题好像直接$LCT$就有$55$分，不过我没机会去，而且当时还不会$LCT$。。

其实学了高数以后这道题比较简单了，我们肯定是对于每个点在$LCT$上维护一个多项式。

一次函数的多项式形式很好搞，那么$e$为底的指数函数和三角函数呢？

根据泰勒中值定理，

上面这个式子是蒯的百度百科。。

$e^{x}$一阶导数就是$e^{x}$，同理，$n$阶导数也是$e^{x}$。

$sin(x)$的一阶导数是$cos(x)$，$cos(x)$的一阶导数是$-sin(x)$，$-sin(x)$的一阶导数是$-cos(x)$，$-cos(x)$的一阶导数是$sin(x)$，所以$sin(x)$的$n$阶导数$4$个一循环。

然后我们把$b$当成$x0$，于是$e^{x}=e^{b}+frac{e^{b}ax}{1!}+frac{e^{b}a^{2}x^{2}}{2!}+frac{e^{b}a^{3}x^{3}}{3!}+...+frac{e^{b}a^{n}x^{n}}{n!}$

$sin(x)=sin(b)+frac{cos(b)ax}{1!}-frac{sin(b)a^{2}x^{2}}{2!}-frac{cos(b)a^{3}x^{3}}{3!}+frac{sin(b)a^{4}x^{4}}{4!}+...$

大概展开$14$层就能保证精度了。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define N (100010)
  
using namespace std;
 
int ch[N][2],fa[N],st[N],rev[N],n,m;
double sum[N][15],val[N][15],a,b;
char str[12];
 
il int gi(){
  RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
  while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
  if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
  while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
  return q*x;
}
 
il int isroot(RG int x){
  return ch[fa[x]][0]!=x && ch[fa[x]][1]!=x;
}
 
il void pushup(RG int x){
  for (RG int i=0;i<=14;++i)
    sum[x][i]=sum[ch[x][0]][i]+sum[ch[x][1]][i]+val[x][i];
  return;
}
 
il void pushdown(RG int x){
  rev[x]=0,swap(ch[x][0],ch[x][1]);
  rev[ch[x][0]]^=1,rev[ch[x][1]]^=1; return;
}
 
il void rotate(RG int x){
  RG int y=fa[x],z=fa[y],k=ch[y][0]==x;
  if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x;
  fa[x]=z,ch[y][k^1]=ch[x][k],fa[ch[x][k]]=y;
  ch[x][k]=y,fa[y]=x,pushup(y),pushup(x); return;
}
 
il void splay(RG int x){
  RG int top=0; st[++top]=x;
  for (RG int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) st[++top]=fa[i];
  for (RG int i=top;i;--i) if (rev[st[i]]) pushdown(st[i]);
  while (!isroot(x)){
    RG int y=fa[x],z=fa[y];
    if (!isroot(y)){
      if ((ch[z][0]==y)^(ch[y][0]==x)) rotate(x);
      else rotate(y);
    }
    rotate(x);
  }
  return;
}
 
il void access(RG int x){
  RG int t=0;
  while (x){
    splay(x),ch[x][1]=t;
    pushup(x),t=x,x=fa[x];
  }
  return;
}
 
il void makeroot(RG int x){
  access(x),splay(x),rev[x]^=1; return;
}
 
il void link(RG int x,RG int y){
  makeroot(x),fa[x]=y; return;
}
 
il void cut(RG int x,RG int y){
  makeroot(x),access(y),splay(y);
  ch[y][0]=fa[x]=0,pushup(y); return;
}
 
il int find(RG int x){
  access(x),splay(x);
  while (ch[x][0]) x=ch[x][0];
  return x;
}
 
il double query(RG int x,RG int y,RG double a){
  makeroot(x),access(y),splay(y); RG double res=0,s=1;
  for (RG int i=0;i<=14;++i) res+=s*sum[y][i],s*=a;
  return res;
}
 
il void make1(RG int i,RG double a,RG double b){
  memset(val[i],0,sizeof(val[i]));
  RG double inv=1,s=1,S=sin(b),C=cos(b); val[i][0]=S;
  for (RG int j=1;j<=12;j+=4){
    inv*=j,s*=a,val[i][j]=C*s/inv;
    inv*=(j+1),s*=a,val[i][j+1]=-S*s/inv;
    inv*=(j+2),s*=a,val[i][j+2]=-C*s/inv;
    inv*=(j+3),s*=a,val[i][j+3]=S*s/inv;
  }
  inv*=13,s*=a,val[i][13]=C*s/inv;
  inv*=14,s*=a,val[i][14]=-S*s/inv;
  return;
}
 
il void make2(RG int i,RG double a,RG double b){
  memset(val[i],0,sizeof(val[i]));
  RG double inv=1,ex=exp(b),s=1; val[i][0]=ex;
  for (RG int j=1;j<=14;++j)
    inv*=j,s*=a,val[i][j]=ex*s/inv;
  return;
}
 
il void make3(RG int i,RG double a,RG double b){
  memset(val[i],0,sizeof(val[i]));
  val[i][1]=a,val[i][0]=b; return;
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("math.in","r",stdin);
  freopen("math.out","w",stdout);
#endif
  n=gi(),m=gi(),scanf("%s",str);
  for (RG int i=1,f;i<=n;++i){
    f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b);
    if (f==1) make1(i,a,b);
    if (f==2) make2(i,a,b);
    if (f==3) make3(i,a,b);
  }
  for (RG int i=1,f,x,u,v;i<=m;++i){
    scanf("%s",str);
    if (str[0]=='a') u=gi()+1,v=gi()+1,link(u,v);
    if (str[0]=='d') u=gi()+1,v=gi()+1,cut(u,v);
    if (str[0]=='m'){
      x=gi()+1,f=gi(),scanf("%lf%lf",&a,&b);
      makeroot(x);
      if (f==1) make1(x,a,b);
      if (f==2) make2(x,a,b);
      if (f==3) make3(x,a,b);
      pushup(x);
    }
    if (str[0]=='t'){
      u=gi()+1,v=gi()+1,scanf("%lf",&a);
      if (find(u)!=find(v)) puts("unreachable");
      else printf("%0.8e
",query(u,v,a)); 
    }
  }
  return 0;
}