bzoj5015 [Snoi2017]礼物

Description

热情好客的请森林中的朋友们吃饭，他的朋友被编号为 1～N，每个到来的朋友都会带给他一些礼物：。其中，第一个朋友会带给他 1 个，之后，每一个朋友到来以后，都会带给他之前所有人带来的礼物个数再加他的编号的 K 次方那么多个。所以，假设 K=2，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,5,15,37,83假设 K=3，前几位朋友带来的礼物个数分别是：1,9,37,111现在，好奇自己到底能收到第 N 个朋友多少礼物，因此拜托于你了。已知 N,K请输出第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。

PDF题面:www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/gift.pdf

Input

第一行，两个整数 N,K

N≤10^18,K≤10

Output

一个整数，表示第 N 个朋友送的礼物个数 mod1000000007。  

Sample Input

4 2

Sample Output

37

 

正解：矩阵快速幂。

首先一眼就能看出这题要用矩阵快速幂。

然后发现我们需要维护的就是$i^{k}$，不过$k$最大只有$10$。

于是根据二项式定理，写一个杨辉三角就行了。

 

#include <bits/stdc++.h>
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define rhl (1000000007)

using namespace std;

struct data{ int m[15][15]; }a,p;

int c[15][15],k,sz;
ll n;

il data mul(data a,data b){
  data c;
  for (RG int i=0;i<=sz;++i)
    for (RG int j=0;j<=sz;++j){
      c.m[i][j]=0;
      for (RG int k=0;k<=sz;++k){
    c.m[i][j]+=1LL*a.m[i][k]*b.m[k][j]%rhl;
    if (c.m[i][j]>=rhl) c.m[i][j]-=rhl;
      }
    }
  return c;
}

il data qpow(data a,RG ll b){
  data ans=a; --b;
  while (b){
    if (b&1) ans=mul(ans,a);
    a=mul(a,a),b>>=1;
  }
  return ans;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("gift.in","r",stdin);
  freopen("gift.out","w",stdout);
#endif
  cin>>n>>k,c[0][0]=1;
  for (RG int i=1;i<=k;++i){
    c[i][0]=c[i][i]=1;
    for (RG int j=1;j<i;++j) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%rhl;
  }
  for (RG int i=0;i<=k;++i)
    for (RG int j=0;j<=i;++j) p.m[j][i]=c[i][j];
  sz=k+2,p.m[k+1][k+1]=p.m[k+2][k+1]=1;
  p.m[k][k+2]=p.m[k+1][k+2]=p.m[k+2][k+2]=1,p=qpow(p,n);
  for (RG int i=0;i<=k;++i) a.m[1][i]=1; a=mul(a,p);
  cout<<a.m[1][sz]; return 0;
}