bzoj4517 [Sdoi2016]排列计数

Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

 

正解：组合数学。

这题要用到错排公式，虽然做这题之前我不知道这是什么，不过最后我还是自己欧出来了。。

首先，我们容易得到，答案就是$inom{n}{m}$乘上错排公式（即$i$不在第$i$个位置上的数的方案数）。

然后这个错排随便欧一下就出来了啊。。

用二项式反演证明，可得：$g(n)=sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}inom{n}{k}f(k)$

然后预处理出来，就没了。

 

//It is made by wfj_2048~
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define rhl (1000000007)
#define inf (1<<30)
#define N (1000010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

ll fac[N],f[N],g[N];
int n,m;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
    while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar();
    while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return q*x;
}

il void pre(){
    fac[0]=fac[1]=f[1]=g[1]=g[2]=1,fac[2]=f[2]=2;
    for (RG int i=3;i<N;++i){
    fac[i]=fac[i-1]*i%rhl;
    g[i]=(g[i-1]*i%rhl-f[i-3]+rhl)%rhl;
    f[i]=g[i]*i%rhl;
    }
    return;
}

il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
    RG ll ans=1;
    while (b){
    if (b&1) ans=ans*a%rhl;
    a=a*a%rhl,b>>=1;
    }
    return ans;
}

il ll cm(RG int n,RG int m){
    return fac[n]*qpow(fac[m],rhl-2)%rhl*qpow(fac[n-m],rhl-2)%rhl;
}

int main(){
    File("sequence");
    RG int T=gi(); pre();
    while (T--){
    n=gi(),m=gi(); if (n==m){ puts("1"); continue; }
    printf("%lld
",cm(n,m)*f[n-m-1]%rhl);
    }
    return 0;
}