bzoj2884 albus就是要第一个出场

Description

已知一个长度为n的正整数序列A（下标从1开始）， 令 S = { x | 1 <= x <= n }, S 的幂集2^S定义为S 所有子集构成的集合。定义映射 f : 2^S -> Zf(空集) = 0f(T) = XOR A[t] , 对于一切t属于T现在albus把2^S中每个集合的f值计算出来， 从小到大排成一行， 记为序列B（下标从1开始）。 给定一个数， 那么这个数在序列B中第1次出现时的下标是多少呢？

Input

第一行一个数n, 为序列A的长度。接下来一行n个数， 为序列A， 用空格隔开。最后一个数Q， 为给定的数.

Output

共一行， 一个整数， 为Q在序列B中第一次出现时的下标模10086的值.

Sample Input

3
1 2 3
1

Sample Output

3
样例解释：
N = 3, A = [1 2 3]
S = {1, 2, 3}
2^S = {空, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
f(空) = 0
f({1}) = 1
f({2}) = 2
f({3}) = 3
f({1, 2}) = 1 xor 2 = 3
f({1, 3}) = 1 xor 3 = 2
f({2, 3}) = 2 xor 3 = 1
f({1, 2, 3}) = 0
所以
B = [0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3]

HINT

数据范围：
1 <= N <= 10,0000
其他所有输入均不超过10^9

正解：线性基。

题意就很绕。。给定一个序列，任意异或得到一个新的序列，并把序列排序。再给定一个Q，求Q在新序列中的排名。

然后我就不会做了。看了题解才知道线性基原来还有一个神奇的性质。

n个数的序列共有$2^{n}$种异或和，n个数的线性基共有k个数，所以n个数的线性基共有$2^{k}$种不同的异或和。神奇的是，$2^{k}$不同的异或和在$2^{n}$种异或和中出现的次数竟然相同，都是$2^{n-k}$次！

所以，我们只要算出线性基中异或和小于Q的数的个数，然后乘上$2^{n-k}$，再加上1，这个就是答案了。

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#include <algorithm>
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#include <complex>
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#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define inf (1<<30)
#define rhl (10086)
#define N (100010)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

vector <int> Q;

int a[N],p[35],n,q,rk,cnt;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void insert(RG int x){
    for (RG int i=30;i>=0;--i)
    if (x&(1<<i)){
        if (!p[i]){ p[i]=x; break; }
        x^=p[i];
    }
    return;
}

il int qpow(RG int a,RG int b){
    RG int ans=1;
    while (b){
    if (b&1) ans=ans*a%rhl;
    a=a*a%rhl,b>>=1;
    }
    return ans;
}

il void work(){
    n=gi(); for (RG int i=1;i<=n;++i) a[i]=gi(),insert(a[i]); q=gi();
    for (RG int i=0;i<=30;++i) if (p[i]) Q.push_back(i),cnt++;
    for (RG int i=0;i<Q.size();++i) if (q&(1<<Q[i])) rk+=1<<i;
    printf("%d
",(rk%rhl*qpow(2,n-cnt)%rhl+1)%rhl);
    return;
}

int main(){
    File("albus");
    work();
    return 0;
}