bzoj3143 [Hnoi2013]游走

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

正解：高斯消元。

如果直接计算每条边出现的次数，很不好算。但是如果我们计算点的出现次数，那就很方便了。我们先计算出每个点的度，然后把n直接删掉，因为n这个点不会对答案产生任何贡献。设每个点的期望出现次数为q[i]，度数为d[i]。那么对于每个点而言，q[i]=∑q[j]/d[j]，其中i与j连通。特别地，q[1]=1+∑q[j]/d[j]。然后我们用高斯消元求出每个点的期望次数以后，就能算出每条边的期望次数。设每条边期望次数为f[i]，那么f[i]=q[u]/d[u]+q[v]/d[v]，这个应该很显然。然后直接将边的出现次数从大到小排序取i，求个和就行了。

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#define inf (1e18)
#define eps (1e-10)
#define il inline
#define RG register
#define ll long long
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;

struct edge{ int nt,to; }g[300010];
struct node{ int u,v; }e[300010];

double a[510][510],tot[300010],ans;
int head[510],d[510],n,m,num;

il int gi(){
    RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar(); while ((ch<'0' || ch>'9') && ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') q=-1,ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return q*x;
}

il void insert(RG int from,RG int to){ g[++num]=(edge){head[from],to},head[from]=num; return; }

il void gauss(){
    for (RG int i=1;i<=n;++i){
    RG double maxs=-1.0; RG int id=i;
    for (RG int j=i;j<=n;++j) if (fabs(a[j][i])+eps>maxs) maxs=fabs(a[j][i]),id=j;
    if (id!=i) for (RG int j=1;j<=n+1;++j) swap(a[i][j],a[id][j]);
    RG double t=a[i][i]; for (RG int j=i;j<=n+1;++j) a[i][j]/=t;
    for (RG int j=1;j<=n;++j){
        if (i==j) continue; t=a[j][i];
        for (RG int k=1;k<=n+1;++k) a[j][k]-=t*a[i][k];
    }
    }
    return;
}

il void work(){
    cin>>n>>m,n--;
    for (RG int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%d%d",&e[i].u,&e[i].v);
    d[e[i].u]++,d[e[i].v]++;
    insert(e[i].u,e[i].v),insert(e[i].v,e[i].u);
    }
    for (RG int x=1;x<=n;++x){
    for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt) if (g[i].to!=n+1) a[x][g[i].to]=1.0/d[g[i].to];
    a[x][x]=-1.0;
    }
    a[1][n+1]=-1.0; gauss();
    for (RG int i=1;i<=m;++i) tot[i]=a[e[i].u][n+1]/d[e[i].u]+a[e[i].v][n+1]/d[e[i].v];
    sort(tot+1,tot+m+1); for (RG int i=1;i<=m;++i) ans+=tot[i]*(m-i+1); printf("%0.3lf",ans);
    return;
}

int main(){
    File("walk");
    work();
    return 0;
}