题解 CF 1372 B

题目

传送门

题意

给出 (n),输出 (a) ,(b) ((0 < a leq b < n)),使(a+b=n)且 (operatorname{lcm}(a,b)) 最小。

思路

前言

如果你没有到现场，你永远也不会体验到cf 的 OI赛制有多强，评测队列曾超过15min，不得不让此次比赛unrated。

但是，我也不知道怎么B、C题提交把语言选成了：C11 ,然后在20分钟后完美地CE 了。

声明

lcm : 最小公倍数

minn : n 的最小质因数

mul : n 的最大 ( eq n) 的约数

分析

我们首先找出使 (operatorname{lcm}(a,b)) 最小的 (a),(b)。

(ecause operatorname{lcm}(a,b)=frac{a imes b}{gcd(a,b)}) ,

( herefore) 我们可以找到 (n) 最小的质因数 (minn) ，再找到 (n) 最大的约数（( eq n)）(mul=frac{n}{minn})。

1. 当 (n) 为合数时，我们令答案为 (mul) , ((minn-1) imes mul)。

2. 当 (n) 为质数时，我们令答案为 (1) , (n-1)。

输出即可。

正确性

证1

证：当 (n) 为质数， (k_1=1) 时 ，(operatorname{lcm}(k_1,n-k_1)) 最小

首先，设 (k_1 > 0),(k_2=n-k_1),且(k_1<k_2)。

(ecause) (n) 为质数，(gcd(k_1,k_2) = 1),

( herefore) (operatorname{lcm}(k_1,k_2)=k_1 imes (n-k_1))

当 (k_1 = 1) ,(operatorname{lcm}(k_1,k_2)=n-1)

若 (k_1 = 1 + h)((1leq hleq frac{n}{2})) ,则

(operatorname{lcm}(k_1,k_2)=(1+h) imes (n-1-h) = n - 1 +h imes (n-2-h) > n - 1)

( herefore) 当 (n) 为质数时，(operatorname{lcm}(1,n-1)) 最小。

当然也可以表述为：当 (n) 为质数， (a=1) 时 ，(a imes (n-a)) 最小

类似地，我们也可证明： (a=1) 时 ，(a imes (n-a)) 最小

我们已经证明了情况2。

证2

证：当 (n) 为合数, (k_1=mul) 时，(operatorname{lcm}(k_1,n-k_1)) 最小

首先，设 (k_1 > 0),(k_2=n-k_1),且(k_1<k_2) ， (q = gcd(k_1,k_2) > 1)。

令 (n=g imes q) , (k_1=g_1 imes q) ，(k_2 = g_2 imes q) , (g_1+g_2 =g)

(operatorname{lcm}(k_1,n-k_2)=frac{k_1 imes (n-k_1)}{q} = g_1 imes q imes g_2)

( herefore) 当 (g_1=1) , (g_1 imes g_2) 最小,

( herefore operatorname{lcm}(k_1,n-k_2)=g_1 imes q imes g_2 geq (g-1) imes q =n - q) (仅当 (k_1 = q) 等号成立）

我们再让 (q) 取最大为 (mul) 即可让(operatorname{lcm}(k_1,n-k_2)) 最小 ，此时 (k_1=mul)

证明完毕（如有漏洞请轻喷)

算法

先用线性筛筛出1e5以内素数，方便找答案。

再一个个枚举素数，找到最小的质因子（如果有），判断情况（如果找不到 (n) 就肯定是素数），输出答案。

代码

/* 
	* Author :Werner_Yin 
	* Time: 2020-07-11 23:20:15
	* I believe I can AC !
*/ 
#include <bits/stdc++.h>
#define lol long long
#define GDB(x) cout<<"DATA "<<#x<<" :"<<x<<endl; 
#define mes(x) memset(x,0,sizeof(x))
using namespace std;
template <typename T>
void re(T &x){
	#define ge getchar() 
	x = 0;int sgn = 1;char ch = ge;
	for(;!isdigit(ch);ch = ge) if(ch == '-') sgn = -1;
	for(;isdigit(ch);ch = ge) x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
	x *= sgn;
}
template <typename T>
void write(T x){
	if(x == 0) putchar(48);
	else if(x < 0) putchar('-');
	int k = 0,que[20];
	while(x > 0){
		que[++k]=x % 10;
		x /= 10;
	}
	for(int i = k;i > 0;i--) putchar(que[i] + 48);
	return;
}
const int MAXN = 1e5 + 10;
int PrimeNum = 0,Prime[MAXN];
bool IsNotPrime[MAXN];
void shai (){
	for(int i = 2;i < MAXN;i++){
		if(!IsNotPrime[i]){
			Prime[PrimeNum++] = i;
		}
		for(int j = 0;j < PrimeNum && Prime[j] * i < MAXN;j++){
			IsNotPrime[Prime[j] * i] = 1;
			if(i % Prime[j])break;
		}
	}
}

int main (){
	shai();
	int T;
	re(T);
	while(T--){
		int n;
		re(n);
		int minn = -1;
		for(int i = 0;i < PrimeNum ;i++){
			if(n % Prime[i] == 0){
				minn = Prime[i];
				break;
			}
		}
		
		int mul = n / minn;
		if(minn == -1||mul == 1) {write(1);write(n-1);}
		else{write ( 1 * mul);write( (minn-1)*mul);}
		putchar('
');
	}
	return 0;
}