Codeforces Round #138 (Div. 2) ACBDE

A.Parallelepiped

题意：给一个六面体三面的面积，求12条边的长度和。

题解：因为都是整数，设边长分别为a,b,c，面积为xyz,那么可设x=a*b,y=b*c,z=c*a，简单解方程就可以了。

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b, c;
    int x, y, z;
    while (cin >> x >> y >> z) {
        a = sqrt(x * z / y);
        b = x / a;
        c = z / a;
        cout << 4 * (a + b + c) << endl;
    }
    return 0;
}

B.Array

题意：给一个长度为N的数列，求一个连续子序列，包含K个不同的数。要求这个子序列不能有满足条件的子序列，但不要求长度是最小。

题解：从头开始，每得到一个数就放入set，并记录每一个数字出现的最后的位置。当set的大小等于k时，就是子序列结束的位置，因为要开始位置尽可能靠后（否则就存在求得序列的子序列也满足条件），其次每个数字至少出现一次，那么求last最小值即可。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <set>
#include <string.h>
using namespace std;

int a[100005];
int last[100005];

int main()
{
    int n, k;
    while (~scanf("%d%d",&n, &k)) {
        for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", a + i);
        memset(last, -1, sizeof last);
        set<int>s;
        int l = n;
        int r = -1;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            s.insert(a[i]);
            last[ a[i] ] = i;
            if (s.size() == k) {
                r = i;
                break;
            }
        }
        if (r == -1) {
            printf("-1 -1
");
            continue;
        }
        for (int i = 0; i <= r; ++i) {
            if (last[ a[i] ] != -1 && last[ a[i] ] < l) l = last[ a[i] ];
        }
        printf("%d %d
", l + 1, r + 1);
    }
    return 0;
}

C.Bracket Sequence

题意：给一个只含有()[]的字符串，求一个括号匹配且没有相互嵌套的连续子序列，要求'['的个数最多。

题解：dp。对于每一个字符，都希望向前找到最长的子串，那么最长子串含有'['一定也是最多的。设一个数组f[n]，f[i]表示以字符i为最后一个字符的子序列能向前匹配到不能匹配的位置。f[i]=-1表示能匹配到第一个字符。f[i]=i表示子序列长度为0。当a[i]=a[f[i-1]]，f[i]=f[ f[i-1]-1 ] 。ans[i]表示包含第i个字符的最长子序列含有多少个'['。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stack>
#include <utility>
using namespace std;
char a[100005];
int f[100005];
int ans[100005];


int main()
{
    while (~scanf("%s", a)) {
        int len = strlen(a);
        f[0] = ans[0] = 0;
        for (int i = 1; i < len; ++i) {
            if (f[i-1] == -1) {
                f[i] = i;
                ans[i] = 0;
            } else if (a[ f[i-1] ] == '(' && a[i] == ')') {
                f[i] = f[i - 1] - 1; ans[i] = ans[i - 1];
                if (f[i] != -1) {
                    ans[i] += ans[ f[i] ];
                    f[i] = f[ f[i] ];
                }
            } else if (a[ f[i-1] ] == '[' && a[i] == ']') {
                f[i] = f[i - 1] - 1; ans[i] = ans[i - 1] + 1;
                if (f[i] != -1) {
                    ans[i] += ans[ f[i] ];
                    f[i] = f[ f[i] ];
                }
            } else {
                f[i] = i;
                ans[i] = 0;
            }
        }
        int maxn = 0;
        int pos = 0;
        for (int i = 0; i < len; ++i) {
            if (maxn < ans[i]) {
                maxn = ans[i];
                pos = i;
            }
        }
        printf("%d
", maxn);
        for (int i = f[pos] + 1; i <= pos; ++i) printf("%c", a[i]);
        printf("
");
    }
    return 0;
}

D.Two Strings

题意：给2个字符串S和T，求S中所有和T相等的子串（不要求连续），能不能使用S中所有的字符至少一次。

题解：从前向后扫一遍求每个字符能匹配到最靠右的位置l，从后向前扫一遍求每个字符能匹配到最靠左的位置r，如果前面的能l>=r，证明该字符可以被用到。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 200005;

char s[N], t[N];
int l[N], r[N];
int ok[300];
int main()
{
    while (scanf("%s%s", s, t) == 2){
        memset(ok, -1, sizeof (ok));
        int slen = strlen(s);
        int tlen = strlen(t);
        int pos = 0;
        bool flag = true;
        for (int i = 0; i < slen; ++i) {
            if (pos < tlen && s[i] == t[pos]) {
                ok[ s[i] ] = pos;
                l[i] = pos++;
            } else {
                if (ok[ s[i] ] == -1) {
                    flag = false;
                }
                l[i] = ok[ s[i] ];
            }
        }
        if (!flag) {
            puts("No");
            continue;
        }
        memset(ok, -1, sizeof (ok));
        pos = tlen - 1;
        for (int i = slen - 1; i >= 0; --i) {
            if (pos>= 0 && s[i] == t[pos]) {
                ok[ s[i] ] = pos;
                r[i] = pos--;
            } else {
                if (ok[ s[i] ] == -1) {
                    flag = false;
                }
                r[i] = ok[ s[i] ];
            }
        }
        if (!flag) {
            puts("No");
            continue;
        }
        for (int i = 0; i < slen; ++i) {
            if (l[i] < r[i]) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        if (!flag) puts("No");else puts("Yes");
    }
    return 0;
}

E.Partial Sums

给一个长度为N的数组，做n次操作后求该数组。公式如下。

很容易想到通过矩阵快速幂解题，设转移矩阵F，通过A*(F^K)求的结果。然而(1 ≤ n ≤ 2000, 0 ≤ k ≤ 10⁹)，复杂度为n^3*logk，妥妥的超时了。

这个题的矩阵是特殊的矩阵，上三角矩阵（当然也可以是下三角），而且每个值都是1。

对于如下图的矩阵——上三角矩阵，且为带状矩阵。每个对角线值都相等。

对于这个类型的矩阵，只要知道了第一行的元素就可以推出整个矩阵的样子。那么存该矩阵的时候也可以只存一行。

两个这样的矩阵相乘，还为这样的矩阵。

于是可以考虑把矩阵压缩成一维，那么矩阵乘法的复杂度也从n^3降到n^2。

设A*B=C

可以推出

c[0][i]
=sigma(j=0..n-1)a[0][j]*b[j][i]
=sigma(j=0..i)    a[0][j]*b[j][i]（因为是上三角矩阵，下面的元素都为0）
=sigma(j=0..i)    a[0][j]*b[0][i-j]（因为是带状矩阵，b[j][i]==b[0][i-j]，可以对照上面的图算一下）

对于此题，转移矩阵压缩为一维后，求得F^k。

然后对于A*F，可以通过F的性质求的F[i][j]，即F[i][j]=F[0][j-i]。

（一份糟糕的代码）

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef vector<ll> vec;
typedef vector<vec> mat;

const int M = 1000000007;
int n, k;
// A*B
mat mul(mat &A, mat &B)
{
    mat C(1, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int k = 0; k <= i; ++k) {
            C[0][i] = (C[0][i] + A[0][k] * B[0][i - k]) % M;
        }
    }
    return C;
}

// A^k
mat pow(mat A, int k)
{
    mat B(1, vec(n));
    B[0][0] = 1;
    while (k > 0) {
        if (k & 1) B = mul(B, A);
        A = mul(A, A);
        k >>= 1;
    }
    return B;
}

void solve()
{
    mat f(1, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        f[0][i] = 1;
    }
    f = pow(f, k);
    mat A(1, vec(n));
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> A[0][i];
    cout << A[0][0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        ll tmp = 0;
        for (int j = 0; j <= i; ++j) {
            tmp = (tmp + A[0][j] * f[0][i - j]) % M;
        }
        cout << " " << tmp;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    solve();
    return 0;
}