两个凸多边形的公共面积

如何求两个矩形的公共面积？

看到这个问题，首先应该打破思维定式，不要觉得两个矩形一定是终归中规中矩地放着，很有可能是斜着放的。

如果把矩形当成正着放，那么这个问题比：如何求两个三角形公共面积还要简单。

把问题变得简单通常有三种思路

• 具体问题具体分析，发现问题的特殊之处，利用问题的特殊性解决之，这种思路叫做把问题看小了。
• 把问题想得更通用、更一般化，这样往往能够使得问题描述简单，使思路升高一个维度俯视问题，问题就变得很一般。全景视角能够发现这些子问题之间的联系。
• 如果总是惦记着前面两种思路，思维就会不集中，很多时候想问题没必要想太多，直接按照最简单、最直观的方法一条路走下去就是了。方法无所谓好无所谓坏。

求两个矩形的公共面积可以更通用化为：求两个凸多边形的公共面积。

这个问题有一个直观而暴力的思路：

• 首先求出平面图上的所有关键点，关键点包括线段交点、凸多边形顶点，记做顶点集A
• 过滤一下不属于公共部分的点。对于A中的每个点x，如果x不在两个凸多边形的内部，则删除掉x
• A中剩余的点可以构成一个凸多边形，因为两个凸多边形的交点必然也是凸多边形。给定一个凸多边形的顶点集合，这个凸多边形是唯一的，可以用凸包算法求出。经过此步，A中的点变成了一个序列。实际上，凸包算法针对的是一堆点，而此问题中已经确定这些点都是凸多边形边上的点，所以直接找到一个点，从此点向其余点发出射线，按照射线角度对点排序，就得到了有序的凸多边形点序列。
• A中的点构成凸多边形，问题变成求凸多边形的面积。

如何求两个凹多边形的公共面积？任何一个平面多边形都是由若干个三角形组成的。只需要求两个三角形组中两两三角形的公共面积。

参考资料

https://blog.csdn.net/xtulollipop/article/details/52357595
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