（1） 基本思想
将评分矩阵R分解为用户矩阵U和项目矩阵S， 通过不断的迭代训练使得U和S的乘积越来越接近真实矩阵
（2）具体的过程如图
（3）目标函数如下，当Loss最小的时候，U和S的乘积可以近似的替代R
$$ min Loss = min sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{n} (R_{ij} - U_i^TS_j)^2 $$
（4）更新函数
$$ U_i leftarrow U_i - eta frac{partial L}{partial U_i}, S_j leftarrow S_j-eta frac{partial L}{partial S_j} $$
η是学习速率
当η = 1.5时，通常以震荡的形式接近极值点
当η < 1时，迭代单调趋向极值点
当η > 2时，不会收敛，围绕极值点逐渐发散
具体取什么值要根据实验经验，另外还需要在每一步对学习速率进行衰减，目的是使算法尽快收敛。
该方法也叫 LFM(latent factor model).
（5）正则化，解决过拟合问题
$$ min Loss = min sum_{i=1}^{m} sum_{j=1}^{n} (R_{ij} - U_i^TS_j)^2
+ lambda (|| U_{i} ||^{2} + || S_{j} ||^{2}) $$
梯度下降结束的条件：真实值和预测值的差小于阈值
（6）参数
隐特征个数：F
学习速率：α
正则化参数：λ
负样本/正样本比例：R
实验发现，R 对 LFM 性能影响最大，随着负样本数目的增加，LFM 的准确率和召回率有明显提高，
当 R > 10后趋于稳定，
同时，随着负样本数目增加，覆盖率不断降低，流行度不断增加，说明 ratio 参数控制了推荐算法发掘长尾的能力。
另外，与之前实验比较，在所有指标上都优于 UserCF 和 ItemCF。
然而当数据集非常稀疏时，LFM 的性能会明显下降。
（7）实际应用
LFM 模型在实际使用中有一个困难，就是很难实现实时推荐。经典的 LFM 模型每次训练都需要扫描所有的用户行为记录，并且需要在用户行为记录上反复迭代来优化参数，所以每次训练都很耗时，实际应用中只能每天训练一次。在新闻推荐中，冷启动问题非常明显，每天都会有大量的新闻，这些新闻往往如昙花一现，在很短的时间获得很多人的关注，然后在很短时间内失去关注，实时性就非常重要。
雅虎对此提出了一个解决方案。
首先，利用新闻链接的内容属性(关键词、类别等)得到链接 i 的内容特征向量 $ y_i $ , 其次，实时收集用户对链接的行为，并且用这些数据得到链接 i 的隐特征向量 $ q_i $ ，然后，利用下面的公式预测用户 u 是否会单击链接 i:
$$ r_{ui}=x^T_uy_i+p^T_uq_i $$
$ y_i $ : 根据物品的内容属性直接生成
$ x_{uk} $ : 用户 u 对内容特征 k 的兴趣程度，用户向量 xuxu 可以根据历史行为记录获得，每天计算一次
$ p_u , q_i $ : 实时拿到的用户最近几小时的行为训练 LFM 模型获得
对于一个新加入的物品 i，可以通过 $ x^T_uy_i $ 估计用户 u 对物品 i 的兴趣，然后经过几个小时后，通过 $ p^T_uq_i $ 得到更准确的预测值。
（8）优缺点
