bzoj 4818 [Sdoi2017]序列计数

题面

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4818

题解

显然dp

首先不考虑一定有一个质数的条件

令$f[i][j]$表示当前选择$i$个数,当前选择的数的和模$p$等于$j$的方案数

那么转移方程很好写

$$f[i+1][j]= sum_{x=0}^{p-1} {f[i][(j-x+p) mod p] imes sum[x]}$$

$sum[x]$ 表示模$p$等于$x$的数的个数

然后选择至少一个质数的方案数=所有的方案数-没有质数的方案数

只要改一下$sum$数组把质数都减掉再做一遍就好了

那么每一次做的时候肯定用矩阵快速幂

我们发现

这样的矩阵就可以了

f[i][0]   f[i][1]   ...   f[i][p-1]　　　　     sum[0]   sum[1]   ...   sum[p-1]

f[i][0]   f[i][1]   ...   f[i][p-1]         *         sum[p-1]   sum[0]   ...   sum[p-2]

 ...        ...               ...     　　　　          ....         ...                    ...

f[i][0]   f[i][1]   ...   f[i][p-1] 　　　　    sum[1]   sum[2]   ...    sum[0]

就能够得到

f[i+1][0]   f[i+1][1]   ...   f[i+1][p-1]

f[i+1][0]   f[i+1][1]   ...   f[i+1][p-1]

 ....           ...                   ...

f[i+1][0]   f[i+1][1]   ...   f[i+1][p-1]

这样就做完了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read(){
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

const int mod=20170408;

int sum[110];
int n,m,p;
bool isp[20000200];
int pr[20000200],cnt;
struct Matrix{
    int a[110][110];
    Matrix(){
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=0;i<=p;i++)
            a[i][i]=1;
    }
    void clear(){
        memset(a,0,sizeof(a));
    }
    void get(){
        for(int i=0;i<p;i++)
            for(int j=0;j<p;j++)
                a[i][j]=sum[(j-i+p)%p];
    }
    Matrix operator *(Matrix b){
        Matrix ret;
        ret.clear();
        for(int i=0;i<p;i++)
            for(int j=0;j<p;j++)
                for(int k=0;k<p;k++)
                    ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+a[i][k]*1ll*b.a[k][j]%mod)%mod;
        return ret;
    }
} mat;
Matrix ksm(Matrix a,int t){
    Matrix ret;
    while(t){
        if(t&1) ret=ret*a;
        a=a*a;
        t=t>>1;
    }
    return ret;
}

int main(){
#ifdef LZT
    freopen("in","r",stdin);
#endif
    n=read(),m=read(),p=read();
    for(int i=0;i<p;i++)
        sum[i]=(m-i)/p+(i<=m);
    sum[0]--;
    mat.get();
    mat=ksm(mat,n);
    int ans=mat.a[0][0];
    memset(isp,1,sizeof(isp));
    isp[1]=0;
    for(int i=2;i<=m;i++){
        if(isp[i]) pr[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt && i*pr[j]<=m;j++){
            isp[i*pr[j]]=0;
            if(i%pr[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        sum[pr[i]%p]--;
    mat.get();
    mat=ksm(mat,n);
    ans=(ans-mat.a[0][0]+mod)%mod;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}

Review

比较容易的一道题