bzoj 4816 [Sdoi2017]数字表格

题面

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4816

题解

显然是莫比乌斯反演

首先得出

然后发现 我们要把d提出去

这样就好做了

跟SDOI2015的一道题类似

因为 $left lfloor frac{n}{p} ight floor left lfloor frac{m}{p} ight floor$只有$(sqrt n +sqrt m)$种取值 并且$prod_{k|p} f[k]^{mu(frac{p}{k})}$对于每个p都是固定的

所以我们可以预处理$prod_{k|p} f[k]^{mu(frac{p}{k})}$的前缀积 以及前缀积的逆元 这样可以方便的算出区间的乘积

然后对于每一组询问 我们枚举$(sqrt n +sqrt m)$种取值 就可以得出结果

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll read(){
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0' || c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0' && c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

const int maxn=1000100;
const int mod=1e9+7;
int mu[maxn],pr[maxn],cnt;
bool isp[maxn];
int fib[maxn],g[maxn],G[maxn],invG[maxn];
int fpw[maxn][3];

int ksm(int a,int b){
    int ret=1;
    for(int i=0;i<=30;i++){
        if(b&1) ret=ret*1ll*a%mod;
        a=a*1ll*a%mod;
        b=b>>1;
        if(b==0) return ret;
    }
}

int inv(int a){
    return ksm(a,mod-2);
}

int main(){
#ifdef LZT
    freopen("in","r",stdin);
#endif
    mu[1]=1;
    memset(isp,1,sizeof(isp));
    for(int i=2;i<=1000000;i++){
        if(isp[i]){
            pr[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && i*pr[j]<=1000000;j++){
            isp[i*pr[j]]=0;
            if(i%pr[j]==0) break;
            mu[i*pr[j]]=-mu[i];
        }
    }
    
    fib[1]=1;
    for(int i=2;i<=1000000;i++)
        fib[i]=(fib[i-1]+fib[i-2])%mod;
    for(int i=1;i<=1000000;i++){
        fpw[i][0]=inv(fib[i]);
        fpw[i][1]=1;
        fpw[i][2]=fib[i];
    }
    
    for(int i=1;i<=1000000;i++){
        g[i]=1;
        for(int k=1;k*k<=i;k++){
            if(i%k) continue;
            g[i]=g[i]*1ll*fpw[k][mu[i/k]+1]%mod;
            if(k*k!=i) g[i]=g[i]*1ll*fpw[i/k][mu[k]+1]%mod;
        }
    }
    G[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;i++)
        G[i]=G[i-1]*1ll*g[i]%mod;
    
    invG[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;i++)
        invG[i]=inv(G[i]);
    
    int tc=read();
    while(tc--){
        int n=read(),m=read();
        int j;
        int ans=1;
        for(int i=1;i<=min(n,m);i=j+1){
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans=ans*1ll*ksm(G[j]*1ll*invG[i-1]%mod,(n/i)*1ll*(m/i)%(mod-1))%mod;
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    
    return 0;
}

Review

推导不成功 我自己没有推出来

枚举取值的写法:

int j;
for(int i=1;i<=min(n,m);i=j+1){
    j=min(n/(n/i),m/(m/i));
    //......
}