• [SHOI2015]超能粒子炮·改


    [SHOI2015]超能粒子炮·改

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    [思路要点]

    看到组合数模数是 (2333) 这样一个小质数,很容易想到 (mathrm{Lucas}) 定理

    但是如果直接按 (2333) 进制分解,发现没法做了,于是我们使用 $C_a^b % p = C_{frac a p}^{frac b p} cdot C_{a m%}^{b mod%mod p%
    (f(n,k) = sum_{i=0}^{k} C_n^i),那么要求的就是 (f(n,k))

    [egin{align} f(n, k) &= sum_{i=0}^{k} C_{n}^i\ &= sum_{i=0}^{k} C_{frac n p}^{frac i p} cdot C_{n \% p}^{i \% p} \ &= sum_{i=0}^{frac k p - 1}C_{frac n p}^ i cdot left ( sum _{j = 0}^{p-1}C_{n \% p}^{j} ight)+C_{frac n p}^{frac k p}sum_{j=0}^{k\% p}C_{n \% p}^{j}\ &=f(frac n p, frac k p - 1) cdot f(n \% p, p - 1)+ C_{frac n p}^{frac kp}f(n \% p,k \% p) end{align} ]

    由于 (p)(2333),我们可以把 (f(n\% p,p-1))(f(n\% p, k\% p)) 都预处理出来,然后递归求解,(C_{frac n p}^{frac k p}) 使用 (mathrm{Lucas}) 求解。

    每次 (n) 会除以一个 (p),所以复杂度 (mathcal{O}(p^2+Tcdot log_p^2n))

    [代码]

    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #define re register
    #define LL long long
    #define maxn 2335
    const int P=2333;
    LL c[maxn+2][maxn+2];
    LL f[maxn+2][maxn+2];
    inline LL Lucas(LL n,LL m)
    {
        if(!m) return 1;
        if(n==m) return 1;
        if(n<m) return 0;
        return c[n%P][m%P]*Lucas(n/P,m/P)%P;
    }
    inline LL F(LL n,LL k)
    {
        if(k<0) return 0;
        if(!n) return 1;
        if(!k) return 1;
        if(n<P&&k<P) return f[n][k];
        return (F(n/P,k/P-1)*f[n%P][P-1]%P+Lucas(n/P,k/P)*f[n%P][k%P]%P)%P;
    }
    int main()
    {
        int T;
        scanf("%d",&T);
        c[0][0]=1;
        for(re int i=1;i<=maxn;i++) 
            c[i][i]=c[i][0]=1;
        for(re int i=1;i<=maxn;i++)
            for(re int j=1;j<i;j++)
                c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%P;
        f[0][0]=1;
        for(re int i=1;i<=maxn;i++) 
            f[i][0]=1;
        for(re int i=0;i<=maxn;i++)
            for(re int j=1;j<=maxn;j++)
                f[i][j]=(c[i][j]+f[i][j-1])%P;
        LL n,k;
        while(T--)
        {
            scanf("%lld%lld",&n,&k);
            printf("%lld
    ",F(n,k));
        }
        return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/wawawa8/p/11113708.html
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