莫比乌斯反演小结

注意！！！！

这里不是学习笔记，只是一些有关知识的总结！！

狄利克雷卷积（符号：$ast$）

如果$mathbf t=mathbf f ast mathbf g$

则：
$$
mathbf t(n)=sum_{d|n}mathbf f(d)g(frac{n}{d})
$$
狄利克雷卷积还有以下性质：

交换律，结合律，分配率，等等....

一个函数（$mathbf f$）的逆（$mathbf g$）：即$mathbf f ast mathbf g= epsilon$ 单位元$epsilon(n)=[n1]$
$$
mathbf g(n)=frac{1}{mathbf f(1)}([n1]-sum_{d|n,d eq1}mathbf f(d)g(frac{n}{d}))
$$

积性函数

如果$mathbf f(nm)=mathbf f(n) imes mathbf f(m) $ 则函数$mathbf f$为完全积性函数。

如果再加上约束条件$nperp m$，则函数为积性函数。一个完全积性函数一定是积性函数

积性函数的特殊性质：

1. 两个积性函数的狄利克雷卷积一定是积性函数
2. 任意一个积性函数$mathbf f(1)=1$恒成立
3. 积性函数的逆一定是积性函数（可以在第二条性质的基础上证明）

一些常见的积性函数有（定义$n=prod_{i=1}^tp_i{k_i}$，即唯一分解定理）

$sigma_0(n)=prod_{i=1}^{t(k_i+1)$，$varphi(n)=prod_{i=1}}tp_i^{{k_i-1}(p_i-1)=nprod_{i=1}}t(1-frac{1}{p_i})$

莫比乌斯反演（摘自xgzc的博客）

定义一个函数$mu$使得$mu∗1=ϵ$，即$mu$为$mathbf 1(n)=mathbf {id}^0(n)=1$的逆

这样的话，如果$mathbf g∗mathbf 1=mathbf f$，则$mathbf f∗mu =mathbf g$

即：如果$mathbf f(n)=∑_{d|n}mathbf g(d)$，则$mathbf g(n)=∑_{d|n}mu(d)mathbf f(frac nd)$

好难啊

其他：整除分块

如果要你求一个东西：
$$
sum_{i=1}^n lfloorfrac ni floor
$$
你可能会说，这当然是$O(n)$求啊！！！

那么$nleq 10^{14}$呢？？

你可能会说，我打了个表，发现在一段连续的区间内，函数值相同。但好像没有什么关系？？

不，根据前人的经验，每一个连续的区间，它的右界在$n/(n/i)$，所以，我们就可以在$O(sqrt n)$算了。

比如说：

for(int l = 1; l <= n; l = r + 1) {
    r = n / (n / l);
    ans += (r - l + 1) * (n / l);
}