• CF755G PolandBall and Many Other Balls 题解


    从神 Karry 的题单过来的,然后自己瞎 yy 了一个方法,看题解区里没有,便来写一个题解

    一个常数和复杂度都很大的题解


    (dp_{i,j}) 为 在 (i) 个球中选 (j) 组的方案数,则显然有转移 (dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j-1}+dp_{i-2,j-1})

    然后考虑对其优化:
    (f_i)(dp_i) 的生成函数,则 (f_i) 只与 (f_{i-1})(f_{i-2}) 有关,且关系为 (f_i=f_{i-2}cdot x + f_{i-1}cdot (x+1)) .
    然后考虑对上式进行矩阵加速递推,复杂度 (O(k log k log n)),再加一个巨大的常数,但此题 (k) 的范围很小,可以通过。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define pb push_back
    #define mp make_pair
    #define Fast_IO ios::sync_with_stdio(false);
    #define fir first
    #define sec second
    #define mod 998244353
    #define ll long long
    inline int read()
    {
    	char ch=getchar(); int nega=1; while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') nega=-1; ch=getchar();}
    	int ans=0; while(isdigit(ch)) {ans=ans*10+ch-48;ch=getchar();}
    	if(nega==-1) return -ans;
    	return ans;
    }
    typedef pair<int,int> pii;
    int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
    int sub(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
    int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%mod;}
    int qpow(int x,int y)
    {
    	int ans=1;
    	while(y)
    	{
    		if(y&1) ans=mul(ans,x);
    		x=mul(x,x);
    		y>>=1;
    	}
    	return ans;
    }
    int getInv(int x)
    {
    	return qpow(x,mod-2);
    }
    // 略去多项式的板子,以下 vector 即是存储多项式的容器
    using namespace Poly;
    int n,k;
    struct Mat
    {
    	vector<int> a[3][3];
    	void clear()
    	{
    		for(int i=0;i<3;i++)
    		{
    			for(int j=0;j<3;j++)
    			{
    				a[i][j].resize(1);
    				a[i][j][0]=0;
    			}
    		}
    	}
    };
    Mat mul(Mat x,Mat y)
    {
    	Mat ans; ans.clear();
    	for(int i=1;i<=2;i++)
    	{
    		for(int j=1;j<=2;j++)
    		{
    			for(int k=1;k<=2;k++)
    			{
    				ans.a[i][j]=ans.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j];
    			}
    		}
    	}
    	for(int i=1;i<=2;i++)
    	{
    		for(int j=1;j<=2;j++)
    		{
    			if((int)ans.a[i][j].size()>k+1) ans.a[i][j].resize(k+1);
    		}
    	}
    	return ans;
    }
    Mat qpow(Mat x,int y)
    {
    	Mat ans; ans.clear();
    	ans.a[1][1]=one,ans.a[2][2]=one;
    	while(y)
    	{
    		if(y&1)
    		{
    			ans=mul(ans,x);
    		}
    		x=mul(x,x);
    		y>>=1;
    	}
    	return ans;
    }
    signed main()
    {
    	Init_Inv();
    	cin>>n>>k;
    	Mat a; a.clear();
    	a.a[1][2].resize(2); a.a[1][2][1]=1;
    	a.a[2][1]=one;
    	a.a[2][2].resize(2); a.a[2][2][1]=a.a[2][2][0]=1;
    	a=qpow(a,n-1);
    	Mat R; R.clear();
    	R.a[1][1]=one;
    	R.a[1][2].resize(2); R.a[1][2][0]=1,R.a[1][2][1]=1;
    	R=mul(R,a);
    	vector<int> ans=R.a[1][2];
    	ans.resize(k+1);
    	for(int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",ans[i]); cout<<"
    ";
    	return 0;
    }
    
    
    
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