前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)

前缀表达式(波兰表达式)

前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
举例说明： (3+4)×5-6 对应的前缀表达式就是 - × + 3 4 5 6

前缀表达式的计算机求值

从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素和次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

例如: (3+4)×5-6 对应的前缀表达式就是 - × + 3 4 5 6 , 针对前缀表达式求值步骤如下:

从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

中缀表达式

中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6

中缀表达式的求值是我们人最熟悉的，但是对计算机来说却不好操作(前面我们讲的案例就能看的这个问题)，因此，在计算结果时，往往会将中缀表达式转成其它表达式来操作(一般转成后缀表达式.)

后缀表达式

后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后

中举例说明： (3+4)×5-6 对应的后缀表达式就是 3 4 + 5 × 6 –

再比如:

后缀表达式

后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后

中举例说明： (3+4)×5-6 对应的后缀表达式就是 3 4 + 5 × 6 –

再比如:

正常的表达式	逆波兰表达式
a+b	a b +
a+(b-c)	a b c - +
a+(b-c)*d	a b c – d * +
a+d*(b-c)	a d b c - * +
a=1+3	a 1 3 + =

后缀表达式的计算机求值

从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素和栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果

例如: (3+4)×5-6 对应的后缀表达式就是 3 4 + 5 × 6 - , 针对后缀表达式求值步骤如下:

从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
将5入栈；
接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
将6入栈；
最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

逆波兰计算器

我们完成一个逆波兰计算器，要求完成如下任务:

输入一个逆波兰表达式(后缀表达式)，使用栈(Stack), 计算其结果
支持小括号和多位数整数，因为这里我们主要讲的是数据结构，因此计算器进行简化，只支持对整数的计算。
思路分析
代码完成

代码实现

//将一个逆波兰表达式，依次将数据和运算符放入到ArrayList中
public static List<String> getListString(String suffixExpression){
    //分割表达式
    String[] split = suffixExpression.split(" ");
    ArrayList<String> list = new ArrayList<>();
    for (String ele:split) {
        list.add(ele);
    }
    return list;
}

从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
将5入栈；
接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
将6入栈；
最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

public static int calculate(List<String> ls) {
	// 创建给栈, 只需要一个栈即可
	Stack<String> stack = new Stack<String>();
	// 遍历 ls
	for (String item : ls) {
		// 这里使用正则表达式来取出数
		if (item.matches("\d+")) { // 匹配的是多位数
			// 入栈
			stack.push(item);
		} else {
			// pop出两个数，并运算， 再入栈
			int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
			int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
			int res = 0;
			if (item.equals("+")) {
				res = num1 + num2;
			} else if (item.equals("-")) {
				res = num1 - num2;
			} else if (item.equals("*")) {
				res = num1 * num2;
			} else if (item.equals("/")) {
				res = num1 / num2;
			} else {
				throw new RuntimeException("运算符有误");
			}
			//把res 入栈
			stack.push("" + res);
		}

	}
	//最后留在stack中的数据是运算结果
	return Integer.parseInt(stack.pop());
}

完整代码

package com.javaee.stack;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;

public class PolandNotation{
	public static void main(String[] args) {
		//先给定逆波兰表达式
		//(3+4)*5-6=>3 4 + 5 * 6 -
		//说明为了方便，逆波兰表达式的数字和符号之间用空格隔开
		String suffixExpression ="3 4 + 5 * 6 -";
		//思路：
		//1.先将"3 4 + 5 * 6 -"放到ArrayList中
		//2.将ArrayList传递给一个方法，遍历ArrayList配合栈完成计算
		List<String> list = getListString(suffixExpression);
		System.out.println("list="+list);
		int result = calculate(list);
		System.out.println("result=" + result);

	}
	//将一个逆波兰表达式，依次将数据和运算符放入到ArrayList中
	public static List<String> getListString(String suffixExpression){
		//分割表达式
		String[] split = suffixExpression.split(" ");
		ArrayList<String> list = new ArrayList<>();
		for (String ele:split) {
			list.add(ele);
		}
		return list;
	}

//	从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
//	遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
//	将5入栈；
//	接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
//	将6入栈；
//	最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
public static int calculate(List<String> ls) {
	// 创建给栈, 只需要一个栈即可
	Stack<String> stack = new Stack<String>();
	// 遍历 ls
	for (String item : ls) {
		// 这里使用正则表达式来取出数
		if (item.matches("\d+")) { // 匹配的是多位数
			// 入栈
			stack.push(item);
		} else {
			// pop出两个数，并运算， 再入栈
			int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
			int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
			int res = 0;
			if (item.equals("+")) {
				res = num1 + num2;
			} else if (item.equals("-")) {
				res = num1 - num2;
			} else if (item.equals("*")) {
				res = num1 * num2;
			} else if (item.equals("/")) {
				res = num1 / num2;
			} else {
				throw new RuntimeException("运算符有误");
			}
			//把res 入栈
			stack.push("" + res);
		}

	}
	//最后留在stack中的数据是运算结果
	return Integer.parseInt(stack.pop());
}
}

运算结果：

list=[3, 4, +, 5, *, 6, -]
result=29

中缀表达式转换为后缀表达式

大家看到，后缀表达式适合计算式进行运算，但是人却不太容易写出来，尤其是表达式很长的情况下，因此在开发中，我们需要将中缀表达式转成后缀表达式。

具体步骤如下:

初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
从左至右扫描中缀表达式；
遇到操作数时，将其压s2；
遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1；
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入s1
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
重复步骤2至5，直到表达式的最右边
将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2

举例说明:
将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下
因此结果为
"1 2 3 + 4 × + 5 –"

依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式

代码实现

//完成将一个中缀表达式转成后缀表达式的功能
		//说明
		//1. 1+((2+3)×4)-5 => 转成  1 2 3 + 4 × + 5 –
		//2. 因为直接对str 进行操作，不方便，因此 先将  "1+((2+3)×4)-5" =》 中缀的表达式对应的List
		//   即 "1+((2+3)×4)-5" => ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]
		//3. 将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
		//   即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]  =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]

写一个方法中缀表达式转成对应的List

	//方法：将 中缀表达式转成对应的List
	//  s="1+((2+3)×4)-5";
	public static List<String> toInfixExpressionList(String s) {
		//定义一个List,存放中缀表达式 对应的内容
		List<String> ls = new ArrayList<String>();
		int i = 0; //这时是一个指针，用于遍历 中缀表达式字符串
		String str; // 对多位数的拼接
		char c; // 每遍历到一个字符，就放入到c
		do {
			//如果c是一个非数字，我需要加入到ls
			if((c=s.charAt(i)) < 48 ||  (c=s.charAt(i)) > 57) {
				ls.add("" + c);
				i++; //i需要后移
			} else { //如果是一个数，需要考虑多位数
				str = ""; //先将str 置成"" '0'[48]->'9'[57]
				while(i < s.length() && (c=s.charAt(i)) >= 48 && (c=s.charAt(i)) <= 57) {
					str += c;//拼接
					i++;
				}
				ls.add(str);
			}
		}while(i < s.length());
		return ls;//返回
	}

编写一个运算符优先级类Operation返回一个运算符对应的优先级

//编写一个类 Operation 可以返回一个运算符 对应的优先级
class Operation {
	private static int ADD = 1;
	private static int SUB = 1;
	private static int MUL = 2;
	private static int DIV = 2;
	
	//写一个方法，返回对应的优先级数字
	public static int getValue(String operation) {
		int result = 0;
		switch (operation) {
		case "+":
			result = ADD;
			break;
		case "-":
			result = SUB;
			break;
		case "*":
			result = MUL;
			break;
		case "/":
			result = DIV;
			break;
		default:
			System.out.println("不存在该运算符" + operation);
			break;
		}
		return result;
	}
	
}

将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List

	//即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]  =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
	//方法：将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
	public static List<String> parseSuffixExpreesionList(List<String> ls) {
		//定义两个栈
		Stack<String> s1 = new Stack<String>(); // 符号栈
		//说明：因为s2 这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
		//因此比较麻烦，这里我们就不用 Stack<String> 直接使用 List<String> s2
		//Stack<String> s2 = new Stack<String>(); // 储存中间结果的栈s2
		List<String> s2 = new ArrayList<String>(); // 储存中间结果的Lists2
		
		//遍历ls
		for(String item: ls) {
			//如果是一个数，加入s2
			if(item.matches("\d+")) {
				s2.add(item);
			} else if (item.equals("(")) {
				s1.push(item);
			} else if (item.equals(")")) {
				//如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
				while(!s1.peek().equals("(")) {
					s2.add(s1.pop());
				}
				s1.pop();//!!! 将 ( 弹出 s1栈， 消除小括号
			} else {
				//当item的优先级小于等于s1栈顶运算符, 将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
				//问题：我们缺少一个比较优先级高低的方法
				while(s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(item) ) {
					s2.add(s1.pop());
				}
				//还需要将item压入栈
				s1.push(item);
			}
		}
		
		//将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
		while(s1.size() != 0) {
			s2.add(s1.pop());
		}

		return s2; //注意因为是存放到List, 因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的List
		
	}

完整代码

package com.javaee.stack;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;

public class PolandNotation {

    public static void main(String[] args) {


        //完成将一个中缀表达式转成后缀表达式的功能
        //说明
        //1. 1+((2+3)×4)-5 => 转成  1 2 3 + 4 × + 5 –
        //2. 因为直接对str 进行操作，不方便，因此 先将  "1+((2+3)×4)-5" =》 中缀的表达式对应的List
        //   即 "1+((2+3)×4)-5" => ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]
        //3. 将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
        //   即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]  =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]

        String expression = "1+((2+3)*4)-5";//注意表达式
        List<String> infixExpressionList = toInfixExpressionList(expression);
        System.out.println("中缀表达式对应的List=" + infixExpressionList); // ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]
        List<String> suffixExpresionList = parseSuffixExpreesionList(infixExpressionList);
        System.out.println("后缀表达式对应的List" + suffixExpresionList); //ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]

        System.out.printf("expression %s=%d",expression, calculate(suffixExpresionList)); // ?

    }


    //即 ArrayList [1,+,(,(,2,+,3,),*,4,),-,5]  =》 ArrayList [1,2,3,+,4,*,+,5,–]
    //方法：将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List
    public static List<String> parseSuffixExpreesionList(List<String> ls) {
        //定义两个栈
        Stack<String> s1 = new Stack<String>(); // 符号栈
        //说明：因为s2 这个栈，在整个转换过程中，没有pop操作，而且后面我们还需要逆序输出
        //因此比较麻烦，这里我们就不用 Stack<String> 直接使用 List<String> s2
        //Stack<String> s2 = new Stack<String>(); // 储存中间结果的栈s2
        List<String> s2 = new ArrayList<String>(); // 储存中间结果的Lists2

        //遍历ls
        for (String item : ls) {
            //如果是一个数，加入s2
            if (item.matches("\d+")) {
                s2.add(item);
            } else if (item.equals("(")) {
                s1.push(item);
            } else if (item.equals(")")) {
                //如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃
                while (!s1.peek().equals("(")) {
                    s2.add(s1.pop());
                }
                s1.pop();//!!! 将 ( 弹出 s1栈， 消除小括号
            } else {
                //当item的优先级小于等于s1栈顶运算符, 将s1栈顶的运算符弹出并加入到s2中，再次转到(4.1)与s1中新的栈顶运算符相比较
                //问题：我们缺少一个比较优先级高低的方法
                while (s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(item)) {
                    s2.add(s1.pop());
                }
                //还需要将item压入栈
                s1.push(item);
            }
        }

        //将s1中剩余的运算符依次弹出并加入s2
        while (s1.size() != 0) {
            s2.add(s1.pop());
        }

        return s2; //注意因为是存放到List, 因此按顺序输出就是对应的后缀表达式对应的List

    }

    //方法：将 中缀表达式转成对应的List
    //  s="1+((2+3)×4)-5";
    public static List<String> toInfixExpressionList(String s) {
        //定义一个List,存放中缀表达式 对应的内容
        List<String> ls = new ArrayList<String>();
        int i = 0; //这时是一个指针，用于遍历 中缀表达式字符串
        String str; // 对多位数的拼接
        char c; // 每遍历到一个字符，就放入到c
        do {
            //如果c是一个非数字，我需要加入到ls
            if ((c = s.charAt(i)) < 48 || (c = s.charAt(i)) > 57) {
                ls.add("" + c);
                i++; //i需要后移
            } else { //如果是一个数，需要考虑多位数
                str = ""; //先将str 置成"" '0'[48]->'9'[57]
                while (i < s.length() && (c = s.charAt(i)) >= 48 && (c = s.charAt(i)) <= 57) {
                    str += c;//拼接
                    i++;
                }
                ls.add(str);
            }
        } while (i < s.length());
        return ls;//返回
    }

    //将一个逆波兰表达式， 依次将数据和运算符 放入到 ArrayList中
    public static List<String> getListString(String suffixExpression) {
        //将 suffixExpression 分割
        String[] split = suffixExpression.split(" ");
        List<String> list = new ArrayList<String>();
        for (String ele : split) {
            list.add(ele);
        }
        return list;

    }

    //完成对逆波兰表达式的运算
	/*
	 * 1)从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
		2)遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
		3)将5入栈；
		4)接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
		5)将6入栈；
		6)最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
	 */

    public static int calculate(List<String> ls) {
        // 创建给栈, 只需要一个栈即可
        Stack<String> stack = new Stack<String>();
        // 遍历 ls
        for (String item : ls) {
            // 这里使用正则表达式来取出数
            if (item.matches("\d+")) { // 匹配的是多位数
                // 入栈
                stack.push(item);
            } else {
                // pop出两个数，并运算， 再入栈
                int num2 = Integer.parseInt(stack.pop());
                int num1 = Integer.parseInt(stack.pop());
                int res = 0;
                if (item.equals("+")) {
                    res = num1 + num2;
                } else if (item.equals("-")) {
                    res = num1 - num2;
                } else if (item.equals("*")) {
                    res = num1 * num2;
                } else if (item.equals("/")) {
                    res = num1 / num2;
                } else {
                    throw new RuntimeException("运算符有误");
                }
                //把res 入栈
                stack.push("" + res);
            }

        }
        //最后留在stack中的数据是运算结果
        return Integer.parseInt(stack.pop());
    }

}

//编写一个类 Operation 可以返回一个运算符 对应的优先级
class Operation {
    private static int ADD = 1;
    private static int SUB = 1;
    private static int MUL = 2;
    private static int DIV = 2;

    //写一个方法，返回对应的优先级数字
    public static int getValue(String operation) {
        int result = 0;
        switch (operation) {
            case "+":
                result = ADD;
                break;
            case "-":
                result = SUB;
                break;
            case "*":
                result = MUL;
                break;
            case "/":
                result = DIV;
                break;
            default:
                System.out.println("不存在该运算符" + operation);
                break;
        }
        return result;
    }

}

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前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)

前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)

前缀表达式(波兰表达式)

前缀表达式的计算机求值

中缀表达式

后缀表达式

后缀表达式的计算机求值

逆波兰计算器

代码实现

完整代码

中缀表达式转换为后缀表达式

代码实现

写一个方法 中缀表达式转成对应的List

编写一个运算符优先级类Operation返回一个运算符 对应的优先级

将得到的中缀表达式对应的List => 后缀表达式对应的List

完整代码

写一个方法中缀表达式转成对应的List

编写一个运算符优先级类Operation返回一个运算符对应的优先级