“1”的个数

实验题目

    给定一个十进制的正整数，写下从1开始，到N的所有整数，然后数出其中1的个数。

     要求：

    1、写一个函数F（N），返回1~N之间出现“1”的个数，例如：F(12)=5;

    2、在32位整数范围内，满足条件的“F(N)=n”的最大的N是多少;

实验思路

首先分析规律

F(3)=1

F(13)=2+4=6

F(19)=2+10=12

F(23)=3+10

F(33)=4+10

F(93)=10+10=20

F(123)=24+20+13=57

设N = abcde ,其中abcde分别为十进制中各位上的数字。

如果要计算百位上1出现的次数，它要受到3方面的影响：百位上的数字，百位一下(低位）上的数字，百位一上（高位）上的数字。

如果百位上数字为0，百位上可能出现1的次数由更高位决定。比 如：12013，则可以知道百位出现1的情况可能 是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。可以看出是由更高位数字 （12）决定，并且等于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。

如果百位上数字为1，百位上可能出现1的次数不仅受更高位影响还受低 位影响。比如：12113，则可以知道百位受高位影响出现的情况 是：100~199，1100~1199,2100~2199，，.........，11100~11199，一共1200个。和上面情况一样，并且等 于更高位数字（12）乘以 当前位数（100）。但同时它还受低位影响，百位出现1的情况是：12100~12113,一共114个，等于低位数字（113）+1。

如果百位上数字大于1（2~9），则百位上出现1的情况仅由更高位决 定，比如12213，则百位出现1的情况 是：100~199,1100~1199，2100~2199，...........，11100~11199,12100~12199,一共有 1300个，并且等于更高位数字+1（12+1）乘以当前位数（100）。

实验代码

#include "stdafx.h"
#include "iostream"
using namespace std;

int main()
{
    int a;//输入的正整数
    int count=0; //计算1的个数
    int i=1; //低位数字
    int m=0; //当前位数字
    int n=0;//高位数字
    int b=0;
    cout<<"请输入正整数："<<endl;
    cin>>a;
    while(a/i!= 0)
    { 
        m=a-(a/i)*i;
        n=(a/i) % 10; 
        b=a/(i*10);
        if(n==0)
        {
            count+=b*i;
        }
        else if(n==1)
        {
            count+=b*i+m+1;
        }
        else
        {
            count+=(b+1)*i;
        }
        i*=10;
    }
    cout<<"该正整数1的个数为:"<<count<<endl;
    return 0;
}

 实验心得

这次的实验思路构想花了好久，明明老师说是很简单的题目，还花这么多时间有点不应该。我觉得问题在于这个问题要分类讨论的情况太多，用纸记下来慢慢分析就可以出结果了，感觉很有成就感。