【BZOJ】3195: [Jxoi2012]奇怪的道路【状压/奇偶性】【思路】

3195: [Jxoi2012]奇怪的道路

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Description

小宇从历史书上了解到一个古老的文明。这个文明在各个方面高度发达，交通方面也不例外。考古学家已经知道，这个文明在全盛时期有n座城市，编号为1..n。m条道路连接在这些城市之间，每条道路将两个城市连接起来，使得两地的居民可以方便地来往。一对城市之间可能存在多条道路。
据史料记载，这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征。首先，这个文明崇拜数字K，所以对于任何一条道路，设它连接的两个城市分别为u和v，则必定满足1 <=|u - v| <= K。此外，任何一个城市都与恰好偶数条道路相连（0也被认为是偶数）。不过，由于时间过于久远，具体的交通网络我们已经无法得知了。小宇很好奇这n个城市之间究竟有多少种可能的连接方法，于是她向你求助。
方法数可能很大，你只需要输出方法数模1000000007后的结果。

Input

输入共一行，为3个整数n，m，K。

Output

输出1个整数，表示方案数模1000000007后的结果。

Sample Input

【输入样例1】
3 4 1
【输入样例2】
4 3 3

Sample Output

【输出样例1】
3

【输出样例2】
4
【数据规模】

HINT

100%的数据满足1

<= n <= 30, 0 <= m <= 30, 1 <= K <= 8.

【题目说明】

两种可能的连接方法不同当且仅当存在一对城市，它们间的道路数在两种方法中不同。

在交通网络中，有可能存在两个城市无法互相到达。

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Solution

是一道很好的思路题！

看到数据范围想到状压也完全束手无策啊QAQ

状态定义非常巧妙！$dp[i][j][s][l]$表示当前到了第$i$个点，连了$j$条边（为了避免边的重复规定每次只能向前连边避免重复），$i-k$到$i$点此时度数奇偶性的状态为$s$，当前在和$i-k+l$连边时的方案数！

所以当$i$这个点可以和$i-k+l$连边时，状态只需要在对应位置^1并且$j+1$即可表示加边。如果选择不加，就直接把$l$往后移一位即可了。

$i$转移到$i+1$时，需要判断当前状态是否满足第$i-k$位奇偶性为偶，因为到后面它就没用了，这里必须满足条件。然后用$dp[i][j][s][k]$转移到$dp[i+1][j][s>>1][0]$即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
using namespace std;

int n, m, k;
long long dp[35][35][1005][10];

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    dp[2][0][0][0] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++) {
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
            for(int s = 0; s < (1 << k + 1); s ++) {
                for(int l = 0; l < k; l ++) {
                    int tmp = dp[i][j][s][l];
                    if(tmp) {
                        dp[i][j][s][l + 1] += tmp;
                        dp[i][j][s][l + 1] %= mod;
                        if(j < m && i - k + l > 0)    dp[i][j + 1][s ^ (1 << k) ^ (1 << l)][l] += tmp, dp[i][j + 1][s ^ (1 << k) ^ (1 << l)][l] %= mod;
                    }
                }
                if(!(s & 1) && dp[i][j][s][k])
                    dp[i + 1][j][s >> 1][0] = dp[i][j][s][k];
            }
    }
    printf("%lld", dp[n + 1][m][0][0]);
    return 0;
}