第三次作业

参考书《数据压缩导论（第4版）》P100

5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

解：求序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签就是求序列113231的实值标签。

     由题意可得：F_x(k)=0,k≤0,F_x(1)=0.2,F_x(2)=0.5,F_x(3)=1,F_x(k)=1,k>3

　 由下列公式可得：u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k)

　　　　　　　　　  l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k-1)

　　①该序列的第一个元素为1，得到以下更新：

       u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

       l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(0)=0+(1-0)*0=0

　　所以该序列标签的区间为[0,0.2)。

　　②该序列的第二个元素为1，得到以下更新：

      u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

       l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(0)=0+(0.2-0)*0=0

　　所以序列标签的区间为[0，0.04)。

　　③该序列的第三个元素为3，得到以下更新：

      u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

       l⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

　　所以该序列标签的区间为[0.02，0.04)。

　　④该序列的第四个元素为2，得到以下更新：

      u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

       l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

　　所以序列标签的区间为[0.024，0.03)。

　　⑤该序列的第五个元素为3，得到以下更新：

      u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

       l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

　　所以该序列标签的区间为[0.027，0.03)。

　　⑥该序列的第六个元素为1，得到以下更新：

      u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

       l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

　　所以该序列标签的区间为[0.027，0.0276)。

　　综上可得生成序列113231的标签如下：

　　　　 即T_x(a1a1a3a2a3a1)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：

解：求序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签就是求序列113231的实值标签。

     由题意可得：F_x(k)=0,k≤0,F_x(1)=0.2,F_x(2)=0.5,F_x(3)=1,F_x(k)=1,k>3

　 由下列公式可得：u^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k)

　　　　　　　　　  l^(k)=l^(k-1)+(u^(k-1)-l^(k-1))F_X(x_k-1)

　　①该序列的第一个元素为1，得到以下更新：

       u⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(1)=0+(1-0)*0.2=0.2

       l⁽¹⁾=l⁽⁰⁾+(u⁽⁰⁾-l⁽⁰⁾)*F_x(0)=0+(1-0)*0=0

　　所以该序列标签的区间为[0,0.2)。

　　②该序列的第二个元素为1，得到以下更新：

      u⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(1)=0+(0.2-0)*0.2=0.04

       l⁽²⁾=l⁽¹⁾+(u⁽¹⁾-l⁽¹⁾)*F_x(0)=0+(0.2-0)*0=0

　　所以序列标签的区间为[0，0.04)。

　　③该序列的第三个元素为3，得到以下更新：

      u⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(3)=0+(0.04-0)*1 =0.04

       l⁽³⁾=l⁽²⁾+(u⁽²⁾-l⁽²⁾)*F_x(2)=0+(0.04-0)*0.5=0.02

　　所以该序列标签的区间为[0.02，0.04)。

　　④该序列的第四个元素为2，得到以下更新：

      u⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(2)=0.02+(0.04-0.02)*0.5 =0.03

       l⁽⁴⁾=l⁽³⁾+(u⁽³⁾-l⁽³⁾)*F_x(1)=0.02+(0.04-0.02)*0.2=0.024

　　所以序列标签的区间为[0.024，0.03)。

　　⑤该序列的第五个元素为3，得到以下更新：

      u⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(3)=0.024+(0.03-0.024)*1=0.03

       l⁽⁵⁾=l⁽⁴⁾+(u⁽⁴⁾-l⁽⁴⁾)*F_x(2)=0.024+(0.03-0.024)*0.5=0.027

　　所以该序列标签的区间为[0.027，0.03)。

　　⑥该序列的第六个元素为1，得到以下更新：

      u⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(1)=0.027+(0.03-0.027)*0.2=0.0276

       l⁽⁶⁾=l⁽⁵⁾+(u⁽⁵⁾-l⁽⁵⁾)*F_x(0)=0.027+(0.03-0.027)*0=0.027

　　所以该序列标签的区间为[0.027，0.0276)。

　　综上可得生成序列113231的标签如下：

　　　　 即T_x(a1a1a3a2a3a1)=(0.027+0.0276)/2=0.0273

6、对于表4-9所示的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

解：从概率模型可知：

　　F_x(k)=0, k≤0, F_x(1)=0.2, F_x(2)=0.5, F_x(3)=1, k>3.

 　 设u⁽⁰⁾=1，l⁽⁰⁾=0

　　①l⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁-1)=F_x(x_k-1)

　　u⁽¹⁾=0+(1-0)F_x(x₁)=F_x(x_k) 

　　当x_k=3时，0.63215699在区间[0.5,1)中；

　　②l⁽²⁾=0.5+0.5F_x(x_k-1)

　　u⁽²⁾=0.5+0.5F_x(x_k) 

　　当x_k=2时，0.63215699在[0.6，0.75)中；

　　③l⁽³⁾=0.6+0.15F_x(x_k-1)

　　u⁽³⁾=0.6+0.15F_x(x_k) 

　　当x_k=2时，0.63215699在[0.63,0.675)中；

　　④l⁽⁴⁾=0.63+0.045F_x(x_k-1)

　　u⁽⁴⁾=0.63+0.045F_x(x_k)

     当x_k=1时，0.63215699在[0.63,0.639)中；

　　⑤l⁽⁵⁾=0.63+0.009F_x(x_k-1)

　　u⁽⁵⁾=0.63+0.009F_x(x_k)

　　当x_k=2时，0.63215699在[0.6318,0.6345)中；

　　⑥l⁽⁶⁾=0.6318+0.0027F_x(x_k-1)

　　u⁽⁶⁾=0.6318+0.0027F_x(x_k)

　　当x_k=1时，0.63215699在[0.6318,0.63234)中；

　　⑦l⁽⁷⁾=0.6318+0.00054F_x(x_k-1)

　　u⁽⁷⁾=0.6318+0.00054F_x(x_k)

　   当x_k=3时，0.63215699在[0.63207,0.63234)中；

　　⑧l⁽⁸⁾=0.63207+0.00027F_x(x_k-1)

　　u⁽⁸⁾=0.63207+0.00027F_x(x_k)

　　当x_k=2时，0.63215699在[0.632124,0.632205)中；

　　⑨l⁽⁹⁾=0.632124+0.000081F_x(x_k-1)

　　u⁽⁹⁾=0.632124+0.000081F_x(x_k)

　　当x_k=2时，0.63215699在[0.6321402,0.6321645)中；

　　⑩l⁽¹⁰⁾=0.6321402+0.0000243F_x(x_k-1)

　　u⁽¹⁰⁾=0.6321402+0.0000243F_x(x_k)

　　当x_k=3时，0.63215699在[0.63215235,0.6321645)中；

　　综上可得：该序列为a₃a₂a₂a₁a₂a₁a₃a₂a₂a_3。