动态规划1.3 杨辉三角改造

问题：

　　对杨辉三角进行一些改造，每个位置的数字可以随意填写，经过某个数字只能到达下面一层相邻的两个数字。现在站在第一层往下移动，我们把移动到最底层所经过的所有数字之和

定义为路径的长度，请求出从最高层到最底层的最短路径。

三角如下：

每一层对应一个阶段，每个阶段对应一个状态集合，问题的最优解包含子问题的最优解。包含重复字问题。例如，对于第三层的节点3，可能从7到达，也可能从8到达，这就是两个重复的子问题，我们可以用动态规划来合并重复的子问题从而减少状态数，选取达到当前节点路径最短的那个。

#include <iostream>
#include <string.h>

int main()
{
    // 把三角形逆时针旋转
    unsigned int value[5][5] = {
        5, 0, 0, 0, 0,
        7, 8, 0, 0, 0,
        2, 3, 4, 0, 0,
        4, 9, 6, 1, 0,
        2, 7, 9, 4, 5
    };
    
    // 每一层索引为i的节点可以到达下一层的i和i+1节点
    
    unsigned int states[5][5] = {0};
    memset(states, 0xff, sizeof(int) * 5 * 5);
    
    states[0][0] = 5;
    
    for(int i = 0; i < 5 - 1; i++)  // 循环到倒数第二层
    {
        for(int j = 0; j <= i; j++)
        {
            if(states[i][j] + value[i + 1][j] < states[i + 1][j])
                states[i + 1][j] = states[i][j] + value[i + 1][j];
            if(states[i][j] + value[i + 1][j+1] < states[i + 1][j + 1])
                states[i + 1][j + 1] = states[i][j] + value[i + 1][j+1];
        }
    }
    
    unsigned int min_value = 0xffffffff;
    for(int i = 0; i < 5; i++)
        if(states[4][i] < min_value)
            min_value = states[4][i];
        
    std::cout << "min : " << min_value << std::endl;
    
    return 0;
}

运行结果：