动态规划1.1 0-1背包

问题：

　　我们有一个背包，背包总的承载重量是Wkg。现在我们有n个物品，每个物品的重量不等，并且不可分割，我们现在期望选择几件物品，装载到背包中。在不超过背包所能装载重量的前提下，如何让背包中的物品的总重量最大？

 如果用回溯算法从头到尾搜索的话，复杂度为2^n，这里面有很多的重复子问题，所以考虑合并子问题，使用动态规划。

整个过程可以分为n个阶段，每个阶段会决策一个物品是否放入背包中。

代码：

#include <iostream>
#include <stack>
int main()
{
    int threshold = 100;   //最大承载100kg
    int items[10] = {11, 4, 59, 68, 28, 70, 34, 7, 7, 98}; //一共有10个物品
    int states[10][threshold + 1] = {0};
    
    if(items[0] <= threshold)     //第一个物品放进背包
        states[0][items[0]] = 1;
    
    for(int i = 1; i < sizeof(items) / sizeof(int); i++)
    {
        for(int j = 0; j < threshold + 1; j++)  // 第i个物品不放入背包
        {
            states[i][j] = states[i - 1][j];
        }
        
        for(int j = 0; j < threshold + 1; j++)
        {
            if(j + items[i] <= threshold)
                if(states[i - 1][j] == 1)
                    states[i][j + items[i]] = 1;
        }
    }
    
    int max_eight = 0;
    for(int i = threshold; i >= 0; i--)
    {
        if(states[9][i] == 1)
        {
            max_eight = i;
            break;
        }
    }
    
    std::stack<int> s;
    int right = threshold;
    for(int i = 10 - 1; i >= 0; i--)
    {
        for(int j = right; j >= 0; j--)
        {
            if(states[i][j] == 1)
            {    
                if(i - 1 >= 0)
                {
                    if(states[i-1][j-items[i]] == 1)
                    {
                        s.push(items[i]);
                        right = j - items[i];
                        break;
                    }
                    else
                        break;
                }
                else
                    s.push(items[i]);
            }
        }
    }
    std::cout << "max_eight : " << max_eight << std::endl;
    
    while(!s.empty())
    {
        std::cout << s.top() << " ";
        s.pop();
    }
    std::cout << std::endl;
    
    return 0;
}

运行结果：

0-1 背包问题升级：

上面的背包问题只涉及背包重量和物品重量。我们现在引入物品价值这一变量。对于一组不同重量、不同价值、不可分割的物品，我们选择将某些物品装入背包，在满足背包最大重量限制的前提下，背包中可装入物品的总价值是多少？

 代码：

#include <iostream>
#include <stack>
int main()
{
    int threshold = 100;   //最大承载100kg
    int items[10] = {11, 4, 59, 68, 28, 70, 34, 7, 7, 98}; //一共有10个物品
    int values[10]= {20, 20, 40, 79, 33, 9, 25, 3, 5, 90}; //每个物品的价值
    int states[10][threshold + 1] = {0};
    
    if(items[0] <= threshold)     //第一个物品放进背包
        states[0][items[0]] = values[0];
    
    for(int i = 1; i < sizeof(items) / sizeof(int); i++)
    {
        for(int j = 0; j < threshold + 1; j++)  // 第i个物品不放入背包
        {
            states[i][j] = states[i - 1][j];
        }
        
        for(int j = 0; j < threshold + 1; j++)
        {
            if(j + items[i] <= threshold)
                if(states[i - 1][j] > 0)
                {
                    int value = states[i-1][j] + values[i];
                    if(value > states[i][j + items[i]])
                        states[i][j + items[i]] = value;
                }
        }
    }
    
    int max_eight = 0;
    int max_value = 0;
    for(int i = threshold; i >= 0; i--)
    {
        if(states[9][i] > 0)
        {
            std::cout << "[" << i << "] : " << states[9][i] << ", ";
            if(states[9][i] > max_value)
            {
                max_value = states[9][i];
                max_eight = i;
            }
        }
    }
    std::cout << std::endl;
    
    
    std::cout << "max_eight : " << max_eight << std::endl;
    std::cout << "max_value : " << max_value << std::endl;
    
    
    return 0;
}

运行结果：