动态规划2.1 矩阵中的最短路径

问题：

　　假设我们有一个n*n的矩阵，w[n][n]，矩阵存储的都是正整数，棋子的起始位置在左上角，终止位置在右下角，我们将棋子从左上角移动到右下角，每次只能向右或者向下移动一位。从左上角到右下角，会有很多不同的路径可以走，我们把每条路径经过的数字加起来看做路径的长度。那从左上角移动到右下角的最短路径长度是多少呢？

分析：

　　每一阶段有两种选择，可以选择向右或者向下。是一个多阶段决策最优化问题。满足最优子结构、无后效性、重复子问题这三个特征。是一个典型的动态规划问题。

代码：

#include <iostream>

int main()
{
    int value[4][4] = {
        1, 3, 5, 9,
        2, 1, 3, 4,
        5, 2, 6, 7,
        6, 8, 4, 3
    };
    
    int states[4][4] = {0};
    
    states[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i < 4; i++)   // 初始化第一行
        states[0][i] = states[0][i - 1] + value[0][i];
    
    for(int j = 1; j < 4; j++)   // 初始化第一列
        states[j][0] = states[j - 1][0] + value[j][0];
    
    for(int i = 1; i < 4; i++)
    {
        for(int j = 1; j < 4; j++)
        {
            states[i][j] = std::min(states[i - 1][j], states[i][j - 1]) + value[i][j];
        }
    }
    
    std::cout << "min : " << states[3][3] << std::endl;
    
    return 0;
}

运行结果：