算法设计与分析——矩阵链相乘求解

题目描述：

给出矩阵链相乘的最优括号次序。矩阵链A₁A₂A₃A₄A₅，其维数分别为2×3,3×6,6×4,4×2,2×7。（给出计算过程）

记住递推式：

由题意可得：

运用表格法(建议：自底向上横向填写)：

已知数据：

c[1,1]=0；c[2,2]=0；c[3,3]=0； c[4,4]=0； c[5,5]=0

开始计算：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

最终结果：

填写表格：

c[1,1]=0	c[1,2]=36	c[1,3]=84	c[1,4]=96	c[1,5]=124
	c[2,2]=0	c[2,3]=72	c[2,4]=84	c[2,5]=126
		c[3,3]=0	c[3,4]=48	c[3,5]=132
			c[4,4]=0	c[4,5]=56
				c[5,5]=0

（1）找出这5个矩阵相乘需要的最少数量乘法的次数。
答：c[1,5]=124

（2）给出一个括号表达式，使得这种次序下达到乘法的次数最少。

答：A₁(A₂(A₃A₄))A₅

C语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int m[6][6]={0};
int s[6][6]={0};
void Print_Optimal_Parens(int s[][6],int i,int j)  //构造最优解
{
   if ( i ==j)
   {
       printf("A%d",i);
   }
   else
   {
       printf("(");
       Print_Optimal_Parens(s,i,s[i][j]);
       Print_Optimal_Parens(s,s[i][j]+1,j);
       printf(")");
   }
}
void Matrix_Chain_Order(int p[],int n)
{
   int i,j,L,k,q;
   for (i=1;i<=n;i++)      //先对单个矩阵的链，求解，即全部m[i][i] =0;
   {
     m[i][i]=0;          
   }
   for(L=2;L<=n;L++)     //从两个矩阵链開始，逐次添加矩阵链的长度
       for(i=1;i<=n-L+1;i++)  //在给定p[]中的矩阵链中，对全部种长度为L的情况计算
       {
           j = i+L-1;
           m[i][j] = -1;
           for(k=i;k<=j-1;k++)   //遍历全部可能的划分点k。计算出最优的划分方案，
           {
             q = m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
             if ( q < m[i][j] || m[i][j] == -1)  
             {
                m[i][j] = q;     //最优的代价q保存在m[i][j]中
                s[i][j] = k;     //最优的划分位置k保存在s[i][j]中
             }
           }
       }

}
void main()
{
    int p[]={2,3,6,4,2,7};    //矩阵的输入
    int length = sizeof(p)/sizeof(p[0])-1;   //矩阵长度
    int i,j;
    Matrix_Chain_Order(p,length);

    for(i =1;i<=5;i++)
    {
        for (j=1;j<=5;j++)
        {
            printf("%8d",m[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    Print_Optimal_Parens(s,1,5);
    printf("\n");
}

检验结果正确！