Balance的数学思想构造辅助函数

本类题的证明难点便在于如何构造出满足答案的辅助函数。通过下列类题便可以很好的理解。

题一

该类题可以理解为积分内部f(x)与xf(x)处于一种失衡状态，故我们需要使其平衡，否则直接构造出的函数无法满足后续的条件(可自行尝试)。

题二

从上面的例题得出启示，本题的条件中仍为不平衡状态，故构造辅助函数时需多加考虑

题三

本题不在啰嗦，直接构造，再进行常规不等式证明即可

题四

本题比较有难度，当然如果运用柯西或者二重积分轮换对称性来解决会比较容易，但这里尝试用平衡统一的方法呀！观察左右两边，根据上面的三道题，不难发现构造辅助函数时，为了得出答案，我们要将1进行平衡，这时可能就会出现两个思路，改为x或者x²，又显然左边为二者乘积，故尝试性选择构造成x²，当然如果没有观察出来，用尝试法发现x错误后，也可以进行合理修改辅助函数。