六、函数单调性与凹凸性
1、函数的单调性与极值
1.1 单调性
∀x1，x2∈I，若x1<x2时，f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，则称f(x)在I内单调增(单调减)。若x1≤x2时，f(x1)≤f(x2)(或f(x1)≥f(x2))，则称f(x)在I内广义单调增(或广义单调减)，还可以叫做单调不减（单调不增）。
- 定理 1
若∀x∈[a,b]，f’(x)>0(或f’(x)<0)，则f(x)在[a,b]内单调增(或单调减)。
1.2 极值
设f(x)在x0的邻域内有定义，那么对x0某空心邻域内的任一x，
若f(x)<f(x0)，则称x0是f(x)的极大值点；
若f(x)>f(x0)，则称x0是f(x)的极小值点。
1.3 驻点
若f’(x0)=0，则x0是f(x)的驻点。
- 定理 2(第一充分判别定理)
设连续函数在x0的去心邻域内可导，若x∈(x0-δ, x0)时，f’(x)>0 (<0)；x∈(x0, x0+δ)时，f’(x)<0 (>0)，则f(x)在x0处取得极大(小)值 (点x=x0可以是f(x)的不可导点)。 - 定理 3(第二充分判别定理)
设f’(x0)=0，f(x)在x0处二阶可导，当f’’(x0)<0时，f(x0)为极大值；当f’’(x0)>0时，f(x0)为极小值。 - 推论
设f’(x0)=f’’(x0)=···=fn-1(x0)=0，fn(x0)≠0(n=1,2,3,···)
① 当n为偶数时，若fn(x0)<0，则f(x0)是f(x)的极大值；若fn(x0)>0，则f(x0)是f(x)的极小值。
② 当n为奇数时，f(x0)不是f(x)的极值。
2、函数的凹凸性与拐点
2.1 凹凸性
对于可导函数f(x)的图形
① 若在区间[a,b]中，f(x)都位于它的每一点切线的上侧，即f(x+△x)>f(x)+f’(x)·△x，则称曲线f(x)在[a,b]中是(向上)凹的。
② 若在区间[a,b]中，f(x)都位于它的每一点切线的下侧，即f(x+△x)<f(x)+f’(x)·△x，则称曲线f(x)在[a,b]中是(向上)凸的。
-
定理 1
若在[a,b]中f’’(x)>0，则曲线f(x)在[a,b]中是凹的；若在[a,b]中f’’(x)<0，则曲线f(x)在[a,b]中是凸的。
2.2 拐点
设曲线y=f(x)连续且处处有切线，则其凹与凸的分界点称为此曲线的拐点。
- 定理 2
设连续函数f(x)在x0的去心邻域内二阶可导，则
① 若f’’(x)在x0的左、右邻域内异号，则点(x0, f(x0))是y=f(x)的拐点；
② 若f’’(x)在x0的左、右邻域内都为正(或负)，则y=f(x)在x0的邻域内凹(凸)。 - 定理 3
设f(x)在x0处三阶可导，且f’’(x0)=0，f’’’(x0)≠0，则点(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点。 - 推论
设f(x)在x0处n阶可导，且
f’’(x0)=f’’’(x0)=···=fn-1(x0)=0，fn(x0)≠0(n=3,4,···)
① 当n为奇数时，(x0,f(x0))是y=f(x)的拐点；
② 当n为偶数时，(x0,f(x0))不是y=f(x)的拐点。