• 机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）

           机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

           机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

    一、k-means算法

           通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

           我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

           如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

           k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

           k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

           式中，μc(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

          上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

    1、随机选取 k个聚类质心点

    2、重复下面过程直到收敛  {

          对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

          对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

    }

          下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

    其伪代码如下：

    ********************************************************************

    创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

    当任意一个点的簇分配结果发生改变时

           对数据集中的每一个数据点

                  对每一个质心

                         计算质心与数据点的距离

                  将数据点分配到距离最近的簇

           对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

    ********************************************************************

    二、Python实现

          我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

    kmeans.py

    [python] view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
    1. ################################################# 
    2. # kmeans: k-means cluster 
    3. # Author : zouxy 
    4. # Date   : 2013-12-25 
    5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09 
    6. # Email  : zouxy09@qq.com 
    7. ################################################# 
    8.  
    9. from numpy import * 
    10. import time 
    11. import matplotlib.pyplot as plt 
    12.  
    13.  
    14. # calculate Euclidean distance 
    15. def euclDistance(vector1, vector2): 
    16.     return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2))) 
    17.  
    18. # init centroids with random samples 
    19. def initCentroids(dataSet, k): 
    20.     numSamples, dim = dataSet.shape 
    21.     centroids = zeros((k, dim)) 
    22.     for i in range(k): 
    23.         index = int(random.uniform(0, numSamples)) 
    24.         centroids[i, :] = dataSet[index, :] 
    25.     return centroids 
    26.  
    27. # k-means cluster 
    28. def kmeans(dataSet, k): 
    29.     numSamples = dataSet.shape[0] 
    30.     # first column stores which cluster this sample belongs to, 
    31.     # second column stores the error between this sample and its centroid 
    32.     clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2))) 
    33.     clusterChanged = True 
    34.  
    35.     ## step 1: init centroids 
    36.     centroids = initCentroids(dataSet, k) 
    37.  
    38.     while clusterChanged: 
    39.         clusterChanged = False 
    40.         ## for each sample 
    41.         for i in xrange(numSamples): 
    42.             minDist  = 100000.0 
    43.             minIndex = 0 
    44.             ## for each centroid 
    45.             ## step 2: find the centroid who is closest 
    46.             for j in range(k): 
    47.                 distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :]) 
    48.                 if distance < minDist: 
    49.                     minDist  = distance 
    50.                     minIndex = j 
    51.              
    52.             ## step 3: update its cluster 
    53.             if clusterAssment[i, 0] != minIndex: 
    54.                 clusterChanged = True 
    55.                 clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2 
    56.  
    57.         ## step 4: update centroids 
    58.         for j in range(k): 
    59.             pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]] 
    60.             centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0) 
    61.  
    62.     print 'Congratulations, cluster complete!' 
    63.     return centroids, clusterAssment 
    64.  
    65. # show your cluster only available with 2-D data 
    66. def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment): 
    67.     numSamples, dim = dataSet.shape 
    68.     if dim != 2: 
    69.         print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!" 
    70.         return 1 
    71.  
    72.     mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr'] 
    73.     if k > len(mark): 
    74.         print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy" 
    75.         return 1 
    76.  
    77.     # draw all samples 
    78.     for i in xrange(numSamples): 
    79.         markIndex = int(clusterAssment[i, 0]) 
    80.         plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex]) 
    81.  
    82.     mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb'] 
    83.     # draw the centroids 
    84.     for i in range(k): 
    85.         plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12) 
    86.  
    87.     plt.show() 


    三、测试结果

          测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

    testSet.txt

    [python] view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
    1. 1.658985    4.285136 
    2. -3.453687   3.424321 
    3. 4.838138    -1.151539 
    4. -5.379713   -3.362104 
    5. 0.972564    2.924086 
    6. -3.567919   1.531611 
    7. 0.450614    -3.302219 
    8. -3.487105   -1.724432 
    9. 2.668759    1.594842 
    10. -3.156485   3.191137 
    11. 3.165506    -3.999838 
    12. -2.786837   -3.099354 
    13. 4.208187    2.984927 
    14. -2.123337   2.943366 
    15. 0.704199    -0.479481 
    16. -0.392370   -3.963704 
    17. 2.831667    1.574018 
    18. -0.790153   3.343144 
    19. 2.943496    -3.357075 
    20. -3.195883   -2.283926 
    21. 2.336445    2.875106 
    22. -1.786345   2.554248 
    23. 2.190101    -1.906020 
    24. -3.403367   -2.778288 
    25. 1.778124    3.880832 
    26. -1.688346   2.230267 
    27. 2.592976    -2.054368 
    28. -4.007257   -3.207066 
    29. 2.257734    3.387564 
    30. -2.679011   0.785119 
    31. 0.939512    -4.023563 
    32. -3.674424   -2.261084 
    33. 2.046259    2.735279 
    34. -3.189470   1.780269 
    35. 4.372646    -0.822248 
    36. -2.579316   -3.497576 
    37. 1.889034    5.190400 
    38. -0.798747   2.185588 
    39. 2.836520    -2.658556 
    40. -3.837877   -3.253815 
    41. 2.096701    3.886007 
    42. -2.709034   2.923887 
    43. 3.367037    -3.184789 
    44. -2.121479   -4.232586 
    45. 2.329546    3.179764 
    46. -3.284816   3.273099 
    47. 3.091414    -3.815232 
    48. -3.762093   -2.432191 
    49. 3.542056    2.778832 
    50. -1.736822   4.241041 
    51. 2.127073    -2.983680 
    52. -4.323818   -3.938116 
    53. 3.792121    5.135768 
    54. -4.786473   3.358547 
    55. 2.624081    -3.260715 
    56. -4.009299   -2.978115 
    57. 2.493525    1.963710 
    58. -2.513661   2.642162 
    59. 1.864375    -3.176309 
    60. -3.171184   -3.572452 
    61. 2.894220    2.489128 
    62. -2.562539   2.884438 
    63. 3.491078    -3.947487 
    64. -2.565729   -2.012114 
    65. 3.332948    3.983102 
    66. -1.616805   3.573188 
    67. 2.280615    -2.559444 
    68. -2.651229   -3.103198 
    69. 2.321395    3.154987 
    70. -1.685703   2.939697 
    71. 3.031012    -3.620252 
    72. -4.599622   -2.185829 
    73. 4.196223    1.126677 
    74. -2.133863   3.093686 
    75. 4.668892    -2.562705 
    76. -2.793241   -2.149706 
    77. 2.884105    3.043438 
    78. -2.967647   2.848696 
    79. 4.479332    -1.764772 
    80. -4.905566   -2.911070 

    测试代码：

    test_kmeans.py

    [python] view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
    1. ################################################# 
    2. # kmeans: k-means cluster 
    3. # Author : zouxy 
    4. # Date   : 2013-12-25 
    5. # HomePage : http://blog.csdn.net/zouxy09 
    6. # Email  : zouxy09@qq.com 
    7. ################################################# 
    8.  
    9. from numpy import * 
    10. import time 
    11. import matplotlib.pyplot as plt 
    12.  
    13. ## step 1: load data 
    14. print "step 1: load data..." 
    15. dataSet = [] 
    16. fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt') 
    17. for line in fileIn.readlines(): 
    18.     lineArr = line.strip().split(' ') 
    19.     dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) 
    20.  
    21. ## step 2: clustering... 
    22. print "step 2: clustering..." 
    23. dataSet = mat(dataSet) 
    24. k = 4 
    25. centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k) 
    26.  
    27. ## step 3: show the result 
    28. print "step 3: show the result..." 
    29. showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment) 

    运行的前后结果是：

    不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

    四、算法分析

           k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

    （1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

    （2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

    （3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

    620

    （4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

           k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。
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