网易2017年校招笔试题 最大的奇约数

题目：

定义函数f(x)为x的最大奇数约数，x为正整数，例如f(44) = 11.

现在给出一个N,需要求出f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(N)

例如： N = 7

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 1 + 1 + 3 + 1 + 5 + 7 = 21.

分析：

奇数的最大奇约数是自身， 偶数的最大奇约数是是除去所有偶因子之后的那个奇数。所以直观的思路就是挨个遍历一遍加起来。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    long long result = 0;
    for (long long i = 1; i <= N; ++i) {
        int temp = i;
        while (temp % 2 == 0) {
            temp /= 2;
        }
        result += temp;
    }
    cout << result << endl;
    return 0;
} 

然而， N的取值范围时10^10，所以O(n)的算法是超时的。

考虑优化，设sum(i) = f(1) + f(2) + ... + f(i)；

求sum(i)的过程中，对于f(i), i 为奇数可以直接求，就是 i 本身。

问题就是求所有f(i), i为偶数的和。

因为要求的是最大奇约数，所以f(2k) = f(k)，所以f(2) + f(4) + ... + f(2k) = f(1) + f(2) + ... + f(k);

所以

sum(i) =  sum (i / 2) + 1 + 3 + ... + i - 1  （i 为偶数）

          =  sum (i - 1) + i （i 为奇数）

时间复杂度O(logn)，可以解决。

#include<iostream>
using namespace std;
long long sum(long long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    if (n % 2 == 0) {
        return  sum(n / 2) + n * n / 4;
    }
    else {
        return sum(n - 1) + n; 
    }
}
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    cout << sum(N) << endl;
}

有朋友回复可能担心stackoverflow，当时写的时候也觉得可能会递归层数太多，但是提交还是过了的。

还是可以写成非递归的。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
long long sum(long long n) {
    long long result = 0;
    while (n > 0) {
        if (n % 2 == 0) {
            result += n * n / 4;
            n /= 2;
        }
        else {
            result += n;
            n--;
        }
    }
    return result;
}
int main() {
    long long N;
    cin >> N;
    cout << sum(N) << endl;
}