LeetCode 「打家劫舍」系列问题共有三道:
House Robber I
建模：给定数组 nums中都是正整数，nums中相邻的数不能同时取，制定一种取数策略，
使得取到的nums中的数和最大，返回取到的数的最大和。
思路：题目很容易理解，而且动态规划的特征很明显。解决动态规划问题的关键就是找「状态」和「选择」。
1. 定义状态：定义dp[i] 表示 数组 nums[0:i]取数返回的最大和；
2. 状态转移： 根据数学归纳的方法， 求状态转移方程就是 假设 dp[0,1,2,...,i-1]都已知 求dp[i] 。
若 取 nums[i] 就不能取 nums[i-1]，dp[i] = nums[i] + dp[i-2] ；若不取 nums[i] ,则 nums[i-1] 可以取
也可以不取,dp[i] = dp[i-1]，dp[i] 取两种选择的最大值。最终的状态转移方程为：
dp[i] = max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i])
状态转移方程中 有dp[i] ,dp[i-1] ,dp[i-2],为了保证数组的下标从0开始，i 应从 2 开始，dp[0],dp[1],应该作为
base case 在状态转移之前处理好。因为只涉及到相邻 3 个状态，所以 可以将状态数组空间压缩，使用
两个变量 front ，before_front 记录状态。
代码如下：
1 int rob(vector<int>& nums) 2 { 3 if(nums.empty()) return 0; 4 if(nums.size() == 1) return nums[0]; 5 if(nums.size() == 2) return max(nums[0],nums[1]); 6 int before_front = nums[0]; 7 int front = max(nums[0],nums[1]); 8 for(int i = 2;i < nums.size();++i) 9 { 10 int temp = front; 11 front = max(front,before_front + nums[i]); 12 before_front = temp; 13 } 14 return front; 15 }
House Robber II
这题和第一题 唯一的不同是nums由普通数组变成了环数组，即 nums[n-1 ] 和 nums[0] 也是相邻的，
在选择是否取 nums[n-1] 时，需要考虑到 nums[n-2] 和nums[0] 都是相邻的，选择nums 中的其他元素 和
上一题同样处理。代码如下：
1 int rob(vector<int>& nums) 2 { 3 const int n = nums.size(); 4 //base case 5 if(n == 1) return nums[0]; 6 if(n == 2) return max(nums[0],nums[1]); 7 if(n == 3) return max(max(nums[0],nums[1]),nums[2]); 8 //根据是否 偷 nums[n-1] 分情况讨论，将问题转化为一般的 打家劫舍问题 9 int res1 = rob_helper(nums,0,n-2);//不偷 nums[n-1] 10 int res2 = rob_helper(nums,1,n-3) + nums[n-1];//偷 nums[n-1] 11 return max(res1,res2); 12 } 13 14 int rob_helper(vector<int>& nums,int low,int high) 15 { 16 int len = high - low + 1; 17 if(len == 1) return nums[low]; 18 if(len == 2) return max(nums[low],nums[high]); 19 20 int before_front = nums[low]; 21 int front = max(nums[low],nums[low+1]); 22 for(int i =low + 2;i <= high;++i) 23 { 24 int temp = front; 25 front = max(front,before_front + nums[i]); 26 before_front = temp; 27 } 28 return front; 29 }
House Robber III
第一题的房子排列是 一个普通的数组，要求不能取相邻的房子内的钱。第二题的房子排列成一个环形数组，
首尾相接，要求不能取相邻的房子内的钱。第三题的房子分布在一颗二叉树上的节点上，要求不能取相邻的房子内的钱。
方法一：备忘录 + 递归
思路分析：二叉树问题，显然可以用递归解决。根据题意，对二叉树的根节点：
1. 如果不取根节点的房子的钱，则作为根节点的相邻节点，根的左节点和根的右节点 都可以取 可以不取，递归地计算
左子树和右子树，然后相加就可以了。
2. 如果取根节点的房子的钱，则根的左节点和根的右节点 都不能取了，递归地计算根节点的左节点的左子树、根节点的
左节点的右子树、根节点的右节点的左子树、根节点的右节点的右子树，将 4 个递归计算得到的结果再加上 root->val 就是
取根节点的房子的钱 这种选择的结果。
3. 在1,2 两个结果中取最大值即得到最终的结果。
注：在递归计算的过程中，计算得到的子树的结果存到备忘录中，避免重复计算，提高效率。
代码如下：
1 class Solution { 2 private: 3 unordered_map<TreeNode*,int> memo;//备忘录 4 public: 5 int rob(TreeNode* root) 6 { 7 if(!root) return 0; 8 if(memo.count(root)) return memo[root]; 9 int not_cheif_root = rob(root->left) + rob(root->right); 10 int left_res = root->left == NULL?0: 11 rob(root->left->left)+rob(root->left->right); 12 int right_res = root->right == NULL?0: 13 rob(root->right->left)+rob(root->right->right); 14 int cheif_root = left_res + right_res + root->val; 15 memo[root] = max(not_cheif_root,cheif_root); 16 return max(not_cheif_root,cheif_root); 17 } 18 }
方法二： 更高效漂亮的递归
1 int rob(TreeNode root) { 2 int[] res = dp(root); 3 return Math.max(res[0], res[1]); 4 } 5 6 /* 返回一个大小为 2 的数组 arr 7 arr[0] 表示不抢 root 的话，得到的最大钱数 8 arr[1] 表示抢 root 的话，得到的最大钱数 */ 9 int[] dp(TreeNode root) { 10 if (root == null) 11 return new int[]{0, 0}; 12 int[] left = dp(root.left); 13 int[] right = dp(root.right); 14 // 抢，下家就不能抢了 15 int rob = root.val + left[0] + right[0]; 16 // 不抢，下家可抢可不抢，取决于收益大小 17 int not_rob = Math.max(left[0], left[1]) 18 + Math.max(right[0], right[1]); 19 20 return new int[]{not_rob, rob}; 21 }