时隔大半年又开始OJ了！
A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).
How many possible unique paths are there?
Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?
Note: m and n will be at most 100.
Example 1:
Input: m = 3, n = 2 Output: 3 Explanation: From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner: 1. Right -> Right -> Down 2. Right -> Down -> Right 3. Down -> Right -> Right
Example 2:
Input: m = 7, n = 3 Output: 28
我写的方法使用递归，方法是没错可是次数一多会超时，下面是代码
class Solution1 { //超时
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
if (m < 1 || n < 1)
return 0;
if (m == 1 && n == 1)
{
return 1;
}
else
{
return uniquePaths(m - 1, n) + uniquePaths(m, n - 1);
}
}
};
领一种循环的方法，可以accepted
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m);
for (int i = 0; i < dp.size(); i++)
{
dp[i].resize(n);
}
for (int i = 0; i < m; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
dp[i][j] = 1;
}
}
for (int i = 1; i < m; i++)
{
for (int j = 1; j < n; j++)
{
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
};
另外下面贴一个转载的为什么某些情况下递归比循环效率低的分析
不知道大家发现没有，执行递归算法，特别是递归执行层数多的时候，结果极其的慢，而且递归层数达到一定的值，还可能出现内存溢出的情况。本文就要将为你解释原因和对应的解决方案。
一、递归与循环
1.1所谓的递归慢到底是什么原因呢？
大家都知道递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值，这势必是影响效率的，同时，这也是内存溢出的原因，因为积累了大量的中间变量无法释放。
1.2用循环效率会比递归效率高吗？
递归与循环是两种不同的解决问题的典型思路。当然也并不是说循环效率就一定比递归高，递归和循环是两码事，递归带有栈操作，循环则不一定，两个概念不是一个层次，不同场景做不同的尝试。
2.1递归算法：
优点：代码简洁、清晰，并且容易验证正确性。（如果你真的理解了算法的话，否则你更晕）
缺点：它的运行需要较多次数的函数调用，如果调用层数比较深，需要增加额外的堆栈处理（还有可能出现堆栈溢出的情况），比如参数传递需要压栈等操作，会对执行效率有一定影响。但是，对于某些问题，如果不使用递归，那将是极端难看的代码。
2.2循环算法：
优点：速度快，结构简单。
缺点：并不能解决所有的问题。有的问题适合使用递归而不是循环。如果使用循环并不困难的话，最好使用循环。
2.3递归算法和循环算法总结：
1） 一般递归调用可以处理的算法，也可以通过循环去解决，常需要额外的低效处理。
2）现在的编译器在优化后，对于多次调用的函数处理会有非常好的效率优化，效率未必低于循环。
3） 递归和循环两者完全可以互换。如果用到递归的地方可以很方便使用循环替换，而不影响程序的阅读，那么替换成递归往往是好的。（例如：求阶乘的递归实现与循环实现。）
1.3.那么递归使用的栈是什么样的一个栈呢？
首先，看一下系统栈和用户栈的用途。
3.1系统栈（也叫核心栈、内核栈）
是内存中属于操作系统空间的一块区域，其主要用途为：
1)保存中断现场，对于嵌套中断，被中断程序的现场信息依次压入系统栈，中断返回时逆序弹出；
2)保存操作系统子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。
3.2用户栈
是用户进程空间中的一块区域，用于保存用户进程的子程序间相互调用的参数、返回值、返回点以及子程序(函数)的局部变量。
我们编写的递归程序属于用户程序，因此使用的是用户栈。
二、递归与尾递归
以上初略介绍了递归与循环的实现机理，似乎代码简洁和效率不能共存。那么有没有一种方法能拥有递归代码简洁的好处，同时给我们带来更快的速率么？算法的世界会告诉你，一切皆有可能。它的名字叫做尾递归。
让递归和尾递归来做一个对比吧。
2.1递归
用线性递归实现Fibonacci函数，程序如下所示：
int FibonacciRecursive(int n)
{
if( n < 2)
return n;
return (FibonacciRecursive(n-1)+FibonacciRecursive(n-2));
}
递归写的代码非常容易懂，完全是根据函数的条件进行选择计算机步骤。例如现在要计算n=5时的值，递归调用过程如下图所示，可以看出，程序向下递归，向上返回，所以每一步都需要存储中间变量和过程。
2.2 尾递归
顾名思义，尾递归就是从最后开始计算, 每递归一次就算出相应的结果, 也就是说, 函数调用出现在调用者函数的尾部, 因为是尾部, 所以根本没有必要去保存任何局部变量。直接让被调用的函数返回时越过调用者, 返回到调用者的调用者去。尾递归就是把当前的运算结果（或路径）放在参数里传给下层函数，深层函数所面对的不是越来越简单的问题，而是越来越复杂的问题，因为参数里带有前面若干步的运算路径。
尾递归是极其重要的，不用尾递归，函数的堆栈耗用难以估量，需要保存很多中间函数的堆栈。比如f(n, sum) = f(n-1) + value(n) + sum，会保存n个函数调用堆栈，而使用尾递归f(n, sum) = f(n-1, sum+value(n))，这样则只保留后一个函数堆栈即可。
采用尾递归实现Fibonacci函数，程序如下所示：
int FibonacciTailRecursive(int n,int ret1,int ret2)
{
if(n==0)
return ret1;
return FibonacciTailRecursive(n-1,ret2,ret1+ret2);
}
从图可以看出，尾递归不需要向上返回了，但是需要引入额外的两个空间来保持当前的结果，这样减少了中间变量的存储和返回，大大提升了效率，而且避免了内存溢出。
三、举一反三
相信很多读者对于快速排序都耳熟能详，不知道各位还记得快速排序的实现就是基于递归实现的么，于是这里就提供了一种优化快速排序的方案，当然尾递归不能改变快速排序的时间复杂度，但是提升性能还是没问题的。笔者不再做详细介绍，只贴上实现代码，留给各位独立思考的空间。
int Partition(int *p,int len,int start,int last)
{
int flag=*(p+start);
int i=start;
int j=last;
while(i<j)
{
while(i<j && *(p+j)>flag) --j;
*(p+i)=*(p+j);
while(i<j && *(p+i)<=flag) ++i;
*(p+j)=*(p+i);
}
*(p+i)=flag;
return i;
}
void QuickSort(int *p,int len,int start,int last)
{
if(NULL=p) return;
int index;
while(start<last)
{
index=Partition(p,len,start,last);
QuickSort(p,len,start,index-1);
//QuickSort(p,len,index+1,last); ／**递归调用*／
start=index+1; ／**尾递归调用*／
}
} 作者：爱情小傻蛋
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來源：简书
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