• LeetCode——300. Longest Increasing Subsequence


    一.题目链接:https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/

    二.题目大意:

      给定一个没有排序的数组,要求从该数组中找到一个最长的递增子序列,并返回其长度。(递增子序列可以是不连续的)

    注:子序列和子字符串或者连续子集的不同之处在于,子序列不需要是原序列上连续的值。

    三.题解:

      寻找最长递增子序列问题 (LIS),是一道比较经典的问题,该问题的解法也比较多,此处我只用了两种方法实现,所以不本无也主要陈述这两种算法。

    方法1:

    利用动态规划解决 (最容易想到的算法),时间复杂度为O(N^2),空间复杂度为O(N),基本思想如下:

    (1)定义一个数组dp,其中dp[i]表示nums数组中,以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。dp数组的所有元素的初值为1。

    (2)接下来对dp数组进行维护更新,从nums的首元素nums[0]开始遍历,对所有排在nums[i]元素之前的元素,如果$ dp[j]+1 > dp[i] $,则$dp[i] = dp[j] + 1$,所以状态转方程为

    $$ dp[i] = egin{cases} max{dp[i],dp[j]+ 1} ,& {j < i} \ dp[i] , & {j ≥ i} end{cases} $$

    (3)在dp数组的更新过程中,记录其最大的元素值,最终结果即该值。

    代码如下:

    class Solution
    {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
        {
            int len = nums.size();
            int rs = 0;
            if(len == 0)
                return 0;
            vector<int>dp(len,1);//初始化dp数组
            for(int i = 0; i < len; i++)
            {
                for(int j = 0; j < i; j++)
                    if(nums[i] > nums[j])
                        dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);//更新当前位置元素的dp
                rs = max(rs,dp[i]);//每次更新dp[i]时,记录最大值
            }
            return rs;
        }
    
    };
    

    方法2:

    利用二分查找的思想,时间复杂度为O(NlogN),空间复杂度为O(N)。该算法的想如下:

    (1)定义一个tail数组,其中tail[i]表示数组nums中长度为i+1的递增子序列中末尾元素最小的那个子序列的末尾元素,例如:

    1 len = 1   :      [4], [5], [6], [3]   => tails[0] = 3
    2 len = 2   :      [4, 5], [5, 6]       => tails[1] = 5
    3 len = 3   :      [4, 5, 6]            => tails[2] = 6

    (2)很显然,tail数组一定是个递增的有序数组,tail数组的初始大小为1,初始元素我们定义为nums[0] (也可以定义为nums中其他值,但最好是nums[0],因为数组的长度可能为1),对于其更新过程,详细如下:

    1.遍历数组nums中的每一元素nums[i],如果nums[i] < tail[0]的话,令tail[0] = nums[i];

    2.如果 nums[i] 大于taIl数组的租后一个元素的话 (由于tail数组时递增的,相当于大于tail数组中所有的元素),此时将tail数组的size加1,并令nums[i]为tail数组中新的尾元素。

    3.如果nums[i]不满足1和2中的情况的话,那就利用二分法从tail数组中找到处第一个大于nums[i]的元素的位置 (假设为K),则更新tail数组,令tail[K] = nums[i]。

    最终tail数组的大小,就是最长递增子序列的长度 (根据tail数组所表示的意思可知),但是tail数组中的元素构成的序列并不一定是一个最长递增子序列,只是数组大小等于LIS的长度而已。

    具体的代码如下:

    class Solution
    {
    public:
        int lengthOfLIS(vector<int>& nums)
        {
            int len = nums.size();
            if(len == 0)
                return 0;
            vector<int>tail;
            tail.push_back(nums[0]);//初始化tail数组,一开始长度为1
            for(int i = 0; i < len; i++)
            {
                if(nums[i] < tail[0]) //更新tail数组首元素
                    tail[0] = nums[i];
                else if(nums[i] > tail.back())//更新tail数组尾元素
                    tail.push_back(nums[i]);
                else//更新tail1数组其他位置的元素,即找到第一个大于等于nums[i]的元素
                {
                    int left = 0, right = tail.size() - 1;
                    while(left <= right)//利用二分法找到第一个大于等于nums[i]的元素的位置,并进行更新
                    {
                        int mid =left + (right - left) / 2;//防止溢出
                        if(tail[mid] >= nums[i])
                            right = mid - 1;
                        else
                            left = mid + 1;
                    }
                    tail[left] = nums[i]; //left即第一个大于等于nums[i]的元素的位置
            }
            }
            return tail.size();//最终tail数组的大小即所求的结果
        }
    
    };
    

    注:此处的tail数组实质为一个动态数组,所以用vector来实现最好不过了。

    利用二分法查找数组中第一个大于等于key的问题实质为二分查找的变种。

    参考:https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/discuss/74824/JavaPython-Binary-search-O(nlogn)-time-with-explanation

      

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