一.题目链接:https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/
二.题目大意:
给定一个没有排序的数组,要求从该数组中找到一个最长的递增子序列,并返回其长度。(递增子序列可以是不连续的)
注:子序列和子字符串或者连续子集的不同之处在于,子序列不需要是原序列上连续的值。
三.题解:
寻找最长递增子序列问题 (LIS),是一道比较经典的问题,该问题的解法也比较多,此处我只用了两种方法实现,所以不本无也主要陈述这两种算法。
方法1:
利用动态规划解决 (最容易想到的算法),时间复杂度为O(N^2),空间复杂度为O(N),基本思想如下:
(1)定义一个数组dp,其中dp[i]表示nums数组中,以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。dp数组的所有元素的初值为1。
(2)接下来对dp数组进行维护更新,从nums的首元素nums[0]开始遍历,对所有排在nums[i]元素之前的元素,如果$ dp[j]+1 > dp[i] $,则$dp[i] = dp[j] + 1$,所以状态转方程为
$$ dp[i] = egin{cases} max{dp[i],dp[j]+ 1} ,& {j < i} \ dp[i] , & {j ≥ i} end{cases} $$
(3)在dp数组的更新过程中,记录其最大的元素值,最终结果即该值。
代码如下:
class Solution { public: int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { int len = nums.size(); int rs = 0; if(len == 0) return 0; vector<int>dp(len,1);//初始化dp数组 for(int i = 0; i < len; i++) { for(int j = 0; j < i; j++) if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);//更新当前位置元素的dp rs = max(rs,dp[i]);//每次更新dp[i]时,记录最大值 } return rs; } };
方法2:
利用二分查找的思想,时间复杂度为O(NlogN),空间复杂度为O(N)。该算法的想如下:
(1)定义一个tail数组,其中tail[i]表示数组nums中长度为i+1的递增子序列中末尾元素最小的那个子序列的末尾元素,例如:
1 len = 1 : [4], [5], [6], [3] => tails[0] = 3 2 len = 2 : [4, 5], [5, 6] => tails[1] = 5 3 len = 3 : [4, 5, 6] => tails[2] = 6
(2)很显然,tail数组一定是个递增的有序数组,tail数组的初始大小为1,初始元素我们定义为nums[0] (也可以定义为nums中其他值,但最好是nums[0],因为数组的长度可能为1),对于其更新过程,详细如下:
1.遍历数组nums中的每一元素nums[i],如果nums[i] < tail[0]的话,令tail[0] = nums[i];
2.如果 nums[i] 大于taIl数组的租后一个元素的话 (由于tail数组时递增的,相当于大于tail数组中所有的元素),此时将tail数组的size加1,并令nums[i]为tail数组中新的尾元素。
3.如果nums[i]不满足1和2中的情况的话,那就利用二分法从tail数组中找到处第一个大于nums[i]的元素的位置 (假设为K),则更新tail数组,令tail[K] = nums[i]。
最终tail数组的大小,就是最长递增子序列的长度 (根据tail数组所表示的意思可知),但是tail数组中的元素构成的序列并不一定是一个最长递增子序列,只是数组大小等于LIS的长度而已。
具体的代码如下:
class Solution { public: int lengthOfLIS(vector<int>& nums) { int len = nums.size(); if(len == 0) return 0; vector<int>tail; tail.push_back(nums[0]);//初始化tail数组,一开始长度为1 for(int i = 0; i < len; i++) { if(nums[i] < tail[0]) //更新tail数组首元素 tail[0] = nums[i]; else if(nums[i] > tail.back())//更新tail数组尾元素 tail.push_back(nums[i]); else//更新tail1数组其他位置的元素,即找到第一个大于等于nums[i]的元素 { int left = 0, right = tail.size() - 1; while(left <= right)//利用二分法找到第一个大于等于nums[i]的元素的位置,并进行更新 { int mid =left + (right - left) / 2;//防止溢出 if(tail[mid] >= nums[i]) right = mid - 1; else left = mid + 1; } tail[left] = nums[i]; //left即第一个大于等于nums[i]的元素的位置 } } return tail.size();//最终tail数组的大小即所求的结果 } };
注:此处的tail数组实质为一个动态数组,所以用vector来实现最好不过了。
利用二分法查找数组中第一个大于等于key的问题实质为二分查找的变种。