题目链接
这道题目提示你要使用到乘法逆元，那我们就可以设
(f(i)=frac{h(i)}{g(i)})((h(i))和(g(i))为(f(i))的最简形式)
则我们就可以把题目给出的递推式，可以装换为
[f(i)= frac{a * f(i-1) +b}{c * f(i-1)+d}
]
[=frac {a * frac{h(i-1)}{g(i-1)}+b}{c * frac{h(i-1)}{g(i-1)}+d}
]
[= frac {(a * frac{h(i-1)}{g(i-1)}+b)* g(i-1)}{(c * frac{h(i-1)}{g(i-1)}+d)* g(i-1)}
]
[=frac {a * frac{h(i-1)}{g(i-1)}* g(i-1)+b* g(i-1)}{c * frac{h(i-1)}{g(i-1)}* g(i-1)+d* g(i-1)}
]
[=frac {a * h(i-1)+b* g(i-1)}{c * h(i-1)+d* g(i-1)}
]
则我们可以推出
[h(i)=a * h(i-1)+b* g(i-1)
]
[g(i)=c * h(i-1)+d* g(i-1)
]
初始矩阵为
[egin{bmatrix}
& h(0)&g(0) &
end{bmatrix}
=
egin{bmatrix}& f(0)&1 &
end{bmatrix}]
转移矩阵为
[egin{bmatrix}
& a&c & \\
& b&d &
end{bmatrix}]
代码如下
#include<stdio.h>
#include<ctype.h>
#include<string.h>
#define re register
using namespace std;
namespace IO
{
template<typename T>
inline void read(T & x)
{
x=0;
bool b=false;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)&&ch^'-')
ch=getchar();
if(ch=='-')
{
b=true;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
ch=getchar();
}
if(b)
x=~x+1;
return;
}
char Out[(int)2e5+10],*fe=Out,ch[25];
int num=0;
template<typename T>
inline void write(T x)
{
if(!x)
*fe++='0';
if(x<0)
{
*fe++='-';
x=-x;
}
while(x)
{
ch[++num]=x%10+'0';
x/=10;
}
while(num)
*fe++=ch[num--];
*fe++='
';
}
inline void flush()
{
fwrite(Out,1,fe-Out,stdout);
fe=Out;
}
}
using namespace IO;
int f,a,b,c,d,p;
int T;
long long n;
struct matrix
{
int n,m;
int g[3][3];
inline void init(int _n,int _m)
{
n=_n;
m=_m;
memset(g,0,sizeof(g));
return;
}
inline matrix operator *(const matrix &b)
{
matrix res;
res.init(n,b.m);
for(re int i=1; i<=res.n; i++)
for(re int j=1; j<=res.m; j++)
for(re int k=1; k<=b.n; k++)
res.g[i][j]=(res.g[i][j]+1ll*g[i][k]*b.g[k][j])%p;
return res;
}
template<typename T>
inline matrix operator ^ (T b)
{
matrix res,a=(*this);
res.init(2,2);
res.g[1][1]=res.g[2][2]=1;
while(b)
{
if(b&1)
res=res*a;
a=a*a;
b>>=1;
}
return res;
}
} A,B;
inline void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
d=a;
x=1;
y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,d,y,x);
y-=a/b*x;
}
int main()
{
IO::read(T);
while(T--)
{
read(f);
read(a);
read(b);
read(c);
read(d);
read(n);
read(p);
f=(f%p+p)%p;
a=(a%p+p)%p;
b=(b%p+p)%p;
c=(c%p+p)%p;
d=(d%p+p)%p;
A.init(1,2);
A.g[1][1]=f;
A.g[1][2]=1;
B.init(2,2);
B.g[1][1]=a;
B.g[2][1]=b;
B.g[1][2]=c;
B.g[2][2]=d;
A=A*(B^n);
int d,x,y;
exgcd(A.g[1][2],p,d,x,y);
x=(x%p+p)%p;
write(1ll*A.g[1][1]*x%p);
}
flush();
return 0;
}