函数性质的综合应用习题

前言

函数性质的综合应用，是模考和高考中常见的题型。要想顺利解决这类题目，需要我们清楚函数的各种性质的常见给出方式，理解其组合方式和常用的思维模式，现举例说明如下：

作用

求函数的解析式，比较函数大小，解抽象函数不等式和具体函数不等式；

常用性质

• 周期性

典型的范式如(f(x+2)=f(x))，则(T=2)；

其等价变形如(f(x+1)=f(x-1))，则(T=2)；

其他表现形式如(f(x+2)=-f(x))，则(T=2 imes2=4)等，

• 奇偶性

典型的范式如(f(-x)=-f(x))，等价变形如(f(-x)+f(x)=0)；

则函数为奇函数，关于点((0，0))对称；

典型的范式由(f(-x)=f(x))，等价变形如(f(-x)-f(x)=0)；

则函数为偶函数，关于直线(x=0)对称；

• 对称性

典型的范式如由(f(2-x)+f(x)=2)，注意等价变形(f(2-x)=2-f(x))；

则可知函数关于点((1，1))对称；

对称中心((x_0，y_0))的求法如下：

(x_0=cfrac{(2-x)+x}{2}=1)，(y_0=cfrac{y_1+y_2}{2}=cfrac{f(2-x)+f(x)}{2}=1)；

典型的范式如由(f(4-x)=f(x))，注意等价变形(f(4-x)-f(x)=0)；

则可知函数关于直线(x=2)对称，

其中对称轴(x=x_0)的求法如下：(x_0=cfrac{(4-x)+x}{2}=2)；

• 廓清认知，区分三种容易混淆的性质

【周期性】两个自变量的整体相加不能消掉(x)的就表现为周期性；

如由(f(x+2)=f(x))，则(T=2)，如由(f(x+2)=-f(x))，则(T=4)，

【对称性】两个自变量的整体相加能消掉(x)的就表现为对称性；why ^[1]

如由(f(-x)+f(x)=0)，对称中心为((0，0))，即奇函数；特殊的对称性。

如由(f(4-x)+f(x)=2)，对称中心为((2，1))，即一般的对称性，中心对称；

如由(f(-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=0)，即偶函数，特殊的对称性；

如由(f(2-x)-f(x)=0)，对称轴为(x=1)，即一般的对称性，轴对称；

思维盲点

函数的奇偶性、对称性、周期性三个性质，只要知道其中两个，就能推导出第三个，而第三个常常在解题中是必不可少的，故需要我们打通思维中的盲点，熟练掌握以下的变形和数学思想方法：

• 对称性+奇偶性(Longrightarrow)周期性的变形例子

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，

则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x) \ - f(-x)&= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4)

• 奇偶性+周期性(Longrightarrow)对称性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(x+4)=-f(x))，

则由(egin{align*} f(x+4)&=-f(x) \ f(-x)&=-f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(x+4)=f(-x)Longrightarrow)对称轴是(x=2)

• 对称性+周期性(Longrightarrow)奇偶性的变形例子
  

如，已知函数(f(x))的周期是2，且满足(f(2+x)=f(-x))，

则由(egin{align*} f(2+x) &=f(-x) \ f(2+x) &= f(x)end{align*}) (Bigg}Longrightarrow f(-x)= f(x)Longrightarrow)函数(f(x))是偶函数。

知识点【函数性质综合应用中的难点】注意对比两个例子中的单调性和图像，比如

①已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在((0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是①，而不可能是②；

②已知定义在(R)上的奇函数(f(x))，在([0，+infty))上单调递增，则函数图像可能是②，而不可能是①；

• 注意，还需要加强的是数学应用意识；即由文字语言到数学符号语言；

比如知道对称轴(x=1)，我们应该能顺利写出(f(x+2)=f(-x))，或(f(-x+2)=f(x))，或(f(1+x)=f(1-x))，其实这几种表达形式的实质都是相同的，具体选用哪一个看我们的题目需要；

再比如，知道函数的对称中心((1，1))，你就应该能写出(f(2-x)+f(x)=2)，或(f(1-x)+f(1+x)=2)等等；

典例剖析

例1【2017年宝鸡市二检】【函数性质逐条给出】已知定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下条件：

①对任意的(xin R)，都有(f(x+2)=f(x-2))；

②函数(y=f(x+2))是偶函数；

③当(xin(0，2])时，(f(x)=e^x-cfrac{1}{x})，

若已知(a=f(-5))，(b=f(cfrac{19}{2}))，(c=f(cfrac{41}{4}))，则(a)，(b)，(c)的大小关系是【 】

$A.b < a < c$ $B.c < a < b$ $C.c < b < a$ $D.a < b < c$

分析：本题目是函数各种性质综合应用的典型题目，如果你对函数的各种性质的给出方式很熟悉，

那么由①可知，函数满足(f(x+4)=f(x))，其周期是(4)；

由②可知(y=f(x))的对称轴是(x=2)，可以表达为(f(x+4)=f(-x))，

那么在结合(f(x+4)=f(x))，可知(f(-x)=f(x))，则函数(f(x))还是偶函数；

由③借助导数工具(或者增+增=增)可得，函数(f(x))在区间((0，2])上单调递增，

有了以上分析得到的函数的周期性、奇偶性、单调性，就可以轻松的解决题目中的大小比较了。

(a=f(-5)xlongequal{周期性}f(-1)xlongequal{奇偶性}f(1))；

(b=f(cfrac{19}{2})xlongequal{周期性}f(cfrac{3}{2})=f(1.5))；

(c=f(cfrac{41}{4})xlongequal{周期性}f(2+cfrac{1}{4})xlongequal{已知表达式}f(cfrac{1}{4}-2)xlongequal{偶函数}f(2-cfrac{1}{4})=f(1.75))；

由(ecause f(x))在区间((0，2])上( earrow)，(1<1.5<1.75)， ( herefore f(1)<f(1.5)<f(1.75))，

即(a<b<c)，故选(D)。

例2【2019届宝鸡理数质检Ⅲ第10题】定义在(R)上的函数(y=f(x))满足以下三个条件：

①对于任意的(xin R)，都有(f(x+1)=f(x-1))；

②函数(y=f(x+1))的图像关于(y)轴对称；

③对于任意的(x_1，x_2in [0，1])，都有([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0)；

则(f(cfrac{3}{2}))、(f(2))、(f(3))的大小关系是【】

$A.f(cfrac{3}{2})>f(2)>f(3)$

$B.f(3)>f(2)>f(cfrac{3}{2})$

$C.f(cfrac{3}{2})>f(3)>f(2)$

$D.f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2)$

分析：本题目考查函数的各种性质的综合运用，其中主要涉及的是函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性；

由①可知，函数的周期为(T=2)，故可以简化其中的两项，(f(2)=f(0))，(f(3)=f(1))；

由②，通过图像的平移，可知函数(y=f(x))的对称轴为直线(x=1)，即函数满足条件(f(x)=f(2-x))，再赋值得到，(f(cfrac{3}{2})=f(2-cfrac{3}{2})=f(cfrac{1}{2}))；

由③可知函数(f(x))在区间([0，1])上单调递增，由于(1>cfrac{1}{2}>0)，故(f(1)>f(cfrac{1}{2})>f(0))，即满足(f(3)>f(cfrac{3}{2})>f(2))，故选(D)。

例3【2018高考真题全国卷二卷文科第12题】已知函数(f(x))是定义在((-infty，+infty))上的奇函数，满足(f(1-x)=f(1+x))，若(f(1)=2)，则(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=)【(hspace{2em})】。

$A.-50$ $B.0$ $C.2$ $D.50$

分析：先将奇函数性质改写为，(f(x)=-f(-x)①)；

再将对称性(f(1-x)=f(1+x))改写为(f(2-x)=f(x)②)，

由①②式可知，(f(2-x)=-f(-x))，即(f(2+x)=-f(x))，故(T=2 imes 2=4)，

这样(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))，接下来就是重点求这些函数值；

由于函数是定义在(R)上的奇函数，故(f(0)=0)，则(f(4)=f(4-4)=f(0)=0)，

令(x=0)，则由(f(2-x)=-f(-x))可得到(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0)，即(f(2)=0)，

(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2)，故(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0)，

即所求(f(1)+f(2)+f(3)+cdots+f(50))

(=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2))

(=f(1)+f(2)=2)，故选C

备注：本题目实际上考查的是正弦函数模型。

例4【函数性质涵盖在解析式中】【2017(cdot)榆林模拟】函数(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sin{x})，则不等式(f(a-2)+f(a^2-4)<0)的解集是【】

$A.(sqrt{3}，2)$ $B.(-3，2)$ $C.(1，2)$ $D.(sqrt{3}，sqrt{5})$

分析：这类题目往往需要取得符号(f)，而在此之前，需要转化为(f(M)<( 或>)f(N))的形式，

然后利用定义域和单调性去掉对应法则符号，就转化为了一般的不等式组了。

解析：先求定义域，令(cfrac{1+x}{1-x}>0)，解得定义域((-1，1))；

再求奇偶性，(f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}-sin x)，(f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}+sin x)，所以(f(-x)+f(x)=0)，故函数为奇函数；

最后分析单调性，

法一，基本函数法，令(g(x)=lncfrac{1+x}{1-x}=ln(-1-cfrac{2}{x-1}))，由于(u=-1-cfrac{2}{x-1})为增函数，

所以函数(g(x))为增函数，故函数(f(x)=g(x)+sin x)为((-1，1))上的增函数，

法二，导数法，(f'(x)=cfrac{2}{1-x^2}+cos x>0)，故函数(f(x))为((-1，1))上的增函数，到此需要的性质基本备齐了，

由(f(a-2)+f(a^2-4)<0)，变换得到(f(a-2)<-f(a^2-4)=f(4-a^2))，由定义域和单调性得到以下不等式组：

(egin{cases}-1<a-2<1\ -1<a^2-4<1 \a-2<4-a^2 end{cases})，解得(sqrt{3}<a<2)，故选(A)。

例5【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数(f(x))的定义域为(|x|leq 1)的补集，且在定义域上恒有(f(-x)-f(x)=0)，若(f(x))在((1，+infty))上恒有(f'(x)>0)成立，(f(x)-f(2x-1)<0)，求实数(x)的取值范围。

分析：上述题目就是个抽象函数，其中定义域为(|x|>1)，且为偶函数，且在((1，+infty))上单调递增，

故由(f(x)-f(2x-1)<0)，等价转化为(f(|x|)<f(|2x-1|))，

接下来由定义域和单调性二者限制得到，

(left{egin{array}{l}{|x|>1}\{|2x-1|>1}\{|x|<|2x-1|}end{array} ight.)

上式等价于(left{egin{array}{l}{|x|>1①}\{|x|<|2x-1|②}end{array} ight.)

解①得到，(x<-1)或(x>1)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到(x<-cfrac{1}{3})或(x>1)；

二者求交集得到，(x<-1)或(x>1)，

即实数(x)的取值范围是((-infty，-1)cup(1，+infty))。

例6【抽象函数】【函数性质的综合应用】已知函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，且对任意实数(m，n)都满足(f(m)+f(n-m)=f(n))，若(f(1)=-1)，则满足(-1leq f(x-1)leq 1)的(x)的取值范围是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-1，1]$ $C.[0，2]$ $D.[1，3]$

分析：先用赋值法确定函数的奇偶性，

令(m=n=0)，得到(f(0)+f(0-0)=f(0))，则(f(0)=0)，

再令(n=0)，得到(f(m)+f(-m)=f(0)=0)，即(f(-m)=-f(m))，

即函数(f(x))为奇函数，故由(f(1)=-1)，得到(f(-1)=1)，

这样原不等式(-1leq f(x-1)leq 1)可变形为(f(1)leq f(x-1)leq f(-1))，

又由于函数(f(x))在((-infty，+infty))上单调递减，

则去掉对应法则的符号得到，(-1leq x-1leq 1)，

解得(0leq xleq 2)，故选(C)。

例7【2017天津高考】【函数性质的综合应用】已知奇函数(f(x))在(R)上是增函数，(g(x)＝xcdot f(x))．若(a＝g(-log_25.1))，(b＝g(2^{0.8}))，(c＝g(3))，则 (a，b，c)的大小关系为【 】

$A.a＜b＜c$ $B.c＜b＜a$ $C.b＜a＜c$ $D.b＜c＜a$

分析：由函数的组成部分来推到整体函数的性质，

由于(y=x)是奇函数，(y=f(x))是奇函数，故(g(x)=xcdot f(x))是偶函数；

又由于奇函数(f(x))在(R)上是增函数，

故(f(0)=0)，且(x>0)时，必有(f(x)>0)，且(f(x))单调递增，

再者(x>0)时，(y=x>0)且单调递增，

故(g(x)=xcdot f(x))经过((0，0))，且当(xin[0，+infty))时，(g(x))单调递增，

接下来利用函数(g(x))的单调性比较大小。

(a=g(-log_25.1)=g(log_25.1))，(b＝g(2^{0.8}))，(c＝g(3))，

(2<log_25.1<3)，(1<2^{0.8}<2)，

故(g(3)>g(log_25.1)>g(2^{0.8}))，即(c>a>b)，故选(C)。

【解后反思】：本题目的难点其一是要能想到利用组成部分的性质推导整体函数的性质。

其二利用函数(f(x))的奇偶性、单调性和定义域来推导(x>0)时，(f(x)>0)这一性质，以便于下一步应用。

例8【2019高三理科数学第二次月考第9题】【函数性质的综合应用】函数(f(x)=ln(|x|-1))(-log_{0.5}(x^2+1))，则使得不等式(f(x)-f(2x-1)<0)成立的(x)的取值范围是【】

$A.(1，+infty)$ $B.(-infty，-cfrac{1}{3})$ $C.(-infty，-cfrac{1}{3})cup (1，+infty)$ $D.(-infty，-1)cup (1，+infty)$

分析：由(|x|-1>0)得到定义域((-infty，-1)cup (1，+infty))；

由于(y=ln(|x|-1))为偶函数，(y=-log_{0.5}(x^2+1))为偶函数，【两个组成部分】所以(f(x))为偶函数；【整体】

以下主要讨论单调性，先考虑(x>1)的情形，

由于(x>1)时(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1))，

其中(y=ln(x-1))在区间((1，+infty))上单调递增，(y=log_{0.5}(x^2+1))在区间((1，+infty))上单调递减，

故(f(x)=ln(x-1)-log_{0.5}(x^2+1))区间((1，+infty))上单调递增，

又由于其为偶函数，这样可知((-infty，-1))上单调递减，

由不等式(f(x)-f(2x-1)<0)等价于(f(|x|)<f(|2x-1|))，其在区间((1，+infty))上单调递增，

由定义域和单调性二者限制得到，(left{egin{array}{l}{|x|>1}\{|2x-1|>1}\{|x|<|2x-1|}end{array} ight.)

上式等价于(left{egin{array}{l}{|x|>1①}\{|x|<|2x-1|②}end{array} ight.)

解①得到，(x<-1)或(x>1)；

解②，两边同时平方，去掉绝对值符号，得到(x<-cfrac{1}{3})或(x>1)；

二者求交集得到，(x<-1)或(x>1)，故选(D)。

例9设函数(f(x))在(R)上存在导数(f'(x))，(forall xin R)，都有(f(-x)+f(x)=x^2)，在((0，+infty))上(f'(x)<x)，若(f(4-m)-f(m)ge 8-4m)，则实数(m)的取值范围是多少？

分析：本题中的题眼是在((0，+infty))上(f'(x)<x)，这句话是构造函数的关键所在。

解析：由题目“在((0，+infty))上(f'(x)<x)”，构造函数(g(x)=f(x)-cfrac{1}{2}x^2)，

则在((0，+infty))上(g'(x)=f'(x)-x<0)，(g(x))单调递减，

又由于(f(-x)+f(x)=x^2)，改写为(f(-x)-cfrac{1}{2}(-x)^2+f(x)-cfrac{1}{2}(x)^2=0)，

即就是(g(-x)+g(x)=0)，即函数(g(x))为定义在(R)上的奇函数，

则((-infty，0))上单调递减，所以函数(g(x))在((-infty，+infty))上单调递减。

又由于(f(4-m)-f(m)ge 8-4m)，等价于(f(4-m)-cfrac{1}{2}(4-m)^2 ge f(m)-cfrac{1}{2}m^2)，

也等价于(g(4-m)ge g(m))，所以(4-mleq m)，解得(m ge 2)，

即(min [2，infty)).

例10【2016(cdot)四川高考】已知函数(f(x))是定义在(R)上的周期为2的奇函数，当(0<x<1)时，(f(x)=4^x)，则(f(-cfrac{5}{2})+f(1))的值是多少？

分析：本题目容易求出(f(-cfrac{5}{2})=f(-0.5)=-f(0.5)=-2)，难点是求(f(1))的值；

由已知可知函数满足(f(x+2)=f(x)，f(x)=-f(-x))，联立可得到(f(x+2)=-f(-x))，

再赋值(x=-1)可得，(f(-1+2)=-f(1))，即(2f(1)=0)，所以(f(1)=0)。则(f(-cfrac{5}{2})+f(1)=-2)。

例11已知(a，b)为正实数，函数(f(x)=ax^3+bx+2^x)在([0，1])上的最大值为(4)，则函数(f(x))在([－1，0])上的最小值为【】

$A.-cfrac{3}{2}$ $B.cfrac{3}{2}$ $C.-2$ $D.2$

分析：由(a，b)为正实数，函数(y=ax^3)和(y=bx)及(y=2^x)都在([-1，1])上单调递增，

故(f(x)=ax^3+bx+2^x)在([-1，1])上单调递增，

则(f(x)_{max}=f(1)=4)，(f(x)_{min}=f(-1)=?)；

又(f(x)-2^x=ax^3+bx=g(x))，则新定义的函数(g(x))为奇函数，故满足(g(-1)+g(1)=0)，

又(f(1)-2=g(1))，(f(-1)-2^{-1}=g(-1))，故有(f(1)-2+f(-1)-cfrac{1}{2}=0)，从而求得(f(-1)=-cfrac{3}{2}=f(x)_{min})。

例12【2017天津一中月考】已知定义在(R)上的奇函数(f(x))满足(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))，且当(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，则(f(2015))=【】

$A.-1$ $B.-2$ $C.1$ $D.2$

资料解法：由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))和奇函数(f(-x)=-f(x))，

可得到(f(cfrac{3}{2}+x)=-f(x))，即(T=3) ; 周期性

(f(2015)=f(3 imes 672-1)=f(-1)=-f(1))，

又由(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，

可得(f(2015)=-f(1)=-2)。故选(B);

解后反思：这个题目其实是有问题的，理由如下：

由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))和奇函数(f(-x)=-f(x))，

可得到(f(cfrac{3}{2}+x)=-f(x))，即(T=3) ;

则(f(2015)=f(3 imes 671+2)=f(2))，

由(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))可得，

(f(2)=f(cfrac{3}{2}+cfrac{1}{2})=f(-cfrac{1}{2})=-f(cfrac{1}{2}))

(=-log_2(3 imes cfrac{1}{2}+1)=-log_2cfrac{5}{2} eq -2)，故没有选项可供选择。

那么哪一个解法对呢？其实本身是这个题目有问题。分析如下：

(f(-x)=f(cfrac{3}{2}+x))，说的是函数的对称性，其对称轴是直线(x=cfrac{3}{4})，

又给定函数满足(0<xleq cfrac{3}{2})时，(f(x)=log_2(3x+1))，

可以看出来在((0，cfrac{3}{2}])上单调递增，

这样的两条性质是不可能同时成立的。

例13【2019届高三理科函数的奇偶性周期性课时作业第13题】设定义在(R)上的函数(f(x))同时满足以下条件：

①(f(x)+f(-x)=0)；②(f(x)=f(x+2))；③当(0leq x<1)时，(f(x)=2^x-1)，

则(f(cfrac{1}{2})+f(1)+f(cfrac{3}{2})+f(2)+f(cfrac{5}{2}))的值是_________。

分析：由①知，函数为奇函数，在利用③先做出([0，1))上的图像，

再利用奇函数，做出((-1，0])上的图像，一个周期基本完成，就差端点值(f(-1))和(f(1))的值未确定；

难点是求(f(1))的值，可以通过以下几个思路求解，

法1：图像法，假设(f(1)=cfrac{1}{2})，则(f(-1)=-cfrac{1}{2})，奇偶性是说的通的，

但是周期性不满足，因为向右平移一个周期后，元素(1)对应(cfrac{1}{2})，还对应(-cfrac{1}{2})，

出现了一对多，不是函数了，故只能有(f(1)=0)，即也有(f(-1)=0)，

这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。

法2：题中没有明确告诉，但是由①②可知，

(f(x+2)=-f(-x))，即(f(x+2)+f(-x)=0)，即对称中心是((1，0))，

这时要么函数在((1，0))处没有定义，这个不满足题意；

要么必有(f(1)=0)，则(f(-1)=0)；其余就好处理了。

法3：赋值法，由(f(x)+f(-x)=0)，令(x=1)，得到(f(1)+f(-1)=0)①，

令(x=-1)，由(f(x)=f(x+2))得到，(f(-1)=f(1))②，

故有(f(1)=f(-1)=0)，

在此基础上，做出函数的大致图像，可知(f(1)=f(2)=f(0)=0)，

(f(cfrac{3}{2})+f(cfrac{5}{2})=0)，(f(cfrac{1}{2})=sqrt{2}-1)，

故(f(cfrac{1}{2})+f(1)+f(cfrac{3}{2})+f(2)+f(cfrac{5}{2})=sqrt{2}-1)。

例14【2019高三理科数学第二次月考跟踪训练第10题】【2018汉中模拟】已知函数(f(x))是定义在(R)上的奇函数，对任意两个不相等的正数(x_1，x_2)都有(cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1-x_2}<0)，记(a=25f(0.2^2))，(b=f(1))，(c=-log_53 imes f(log_{frac{1}{3}}5))，则【】

$A.c＜b＜a$ $B.b＜a＜c$ $C.c＜a＜b$ $D.a＜b＜c$

分析：构造函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})，则(cfrac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}=cfrac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{x_1x_2(x_1-x_2)}<0)，

故(x>0)时，函数(g(x))在((0，+infty))上单调递减，

又函数(g(x)=cfrac{f(x)}{x})为偶函数(奇/奇)，故(g(-x)=g(x))，

(a=25f(0.2^2)=cfrac{f(0.04)}{0.04}=g(0.04))，(b=f(1)=cfrac{f(1)}{1}=g(1))；

(c=-log_53 imes f(log_{frac{1}{3}}5)=-cfrac{1}{log_35} imes f(-log_35)=cfrac{f(-log_35)}{-log_35}=g(-log_35)=g(log_35))，

由于(0.04<1<log_35)，函数(g(x))在((0，+infty))上单调递减，

故(g(0.04)>g(1)>g(log_35))，即(a>b>c)，故选(A)。

例15【2019宝中高三文科数学第二次月考跟踪训练第10题】定义域为(R)的偶函数(f(x))是周期为(2)的周期函数，且在区间([0，1])上(f(x)=e^x)，则(f(lncfrac{1}{19}))((e^2approx 7.4)，(e^3approx 20.1))=【】

$A.cfrac{19}{e^2}$ $B.cfrac{19}{2}$ $C.e^{19}$ $D.19$

分析：令(ln19=t)，则(e^t=19)，即(e^2<e^t<e^3)，

故(2<t<3)，即(ln19in (2，3))；则(ln19-2in (0，1))；

故(f(lncfrac{1}{19})=f(-ln19)=f(ln19)=f(ln19-2))

(=e^{ln19-2}=e^{ln19}cdot e^{-2}=cfrac{19}{e^2})，故选A。

例16【2019凤翔中学理科数学二轮资料用题】已知定义在(R)上的偶函数(f(x))(其中(f'(x))为其导函数)，满足(f(x-cfrac{1}{2})+f(x+1)=0)，(e^3cdot f(2018)=1)，若(f(x)>f'(-x))，则关于(x)的不等式(f(x+2)>cfrac{1}{e^x})的解集为【】

$A(-infty，3)$ $B(3，+infty)$ $C(-infty，0)$ $D(0，+infty)$

分析：由(f(x-cfrac{1}{2})+f(x+1)=0)可知，(T=3)，故可以将(e^3cdot f(2018)=1)转化为(e^3cdot f(2)=1)，

又由于偶函数的导函数为奇函数，则可将(f(x)>f'(-x))转化为(f(x)+f'(x)>0)，

故定义(g(x)=e^xcdot f(x))，则(g'(x)=e^x[f(x)+f'(x)]>0)，故函数(g(x))在(R)上单调递增，

又(f(x+2)>cfrac{1}{e^x})，即(e^xcdot f(x+2)>1)，即(e^xcdot f(x+2)>e^3cdot f(2))，即(e^{x-1}cdot f(x+2)>e^2cdot f(2))，

即(e^{x-1}cdot f(x-1)>e^2cdot f(2))，即(g(x-1)>g(2))，由于函数(g(x))在(R)上单调递增，

故可得，(x-1>2)，解得(x>3)，故选(B)。

例17【2019凤翔中学理科数学二轮资料限时训练5第14题】已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x-4)=-f(x))，且当(-1leq xleq 1)时，(f(x)=-2^{-x+1})，则(f(2019))=_______。

分析：由(f(x-4)=-f(x))，得到(T=8)，则(f(2019)=f(3))；又在(f(x-4)=-f(x))中，令(x=3)，则(f(3)=-f(3-4)=-f(-1)=-(-2^{-(-1)+1})=4)，故(f(2019)=4)。

例18【2017届理科数学试题】已知定义在(R)上的偶函数满足：(f(x+4)=f(x)+f(2))，且当(xin [0,2])时，(y=f(x))单调递减，给出以下四个命题：

①(f(2)=0)；

②(x=-4)为函数(y=f(x))图像的一条对称轴；

③函数(y=f(x))在区间([8,10])上单调递增；

④若方程(f(x)=m)在区间([-6,-2])上的两根为(x_1)，(x_2)，则(x_1+x_2=-8)；

以上命题中所有正确命题的序号为______________。

分析：由于函数(f(x))为偶函数，且(f(x+4)=f(x)+f(2))，

令(x=-2)，则(f(-2+4)=f(2)=f(-2)+f(2))，则(f(-2)=0)，即(f(2)=0)，故①正确，

这样由(f(x+4)=f(x)+f(2))，得到(f(x+4)=f(x))，即周期(T=4)，

结合(xin [0,2])时，(y=f(x))单调递减，我们可以做出适合题意的下图，

由图就能很容易得到②正确，而③错误，由②能很容易得到④也是正确的。

综上所述，正确的代号有①②④。

另解：用数的方法推导，如函数为偶函数，则(f(-x)=f(x))，又(f(x-8)=f(x))，

则得到(f(-x)=f(x-8))，则得到其对称轴为(x=-4)，其实我们还可以得到更多的对称轴。

又由于(xin [0,2])时，(y=f(x))单调递减，则(xin [8,10])时，(y=f(x))单调递减，故③错误；

又由于函数在([-6，-2])上是关于(x=-4)对称的，故方程(f(x)=m)在区间([-6,-2])上的两根为(x_1)，(x_2)也是关于(x=-4)对称，

故(cfrac{x_1+x_2}{2}=-4)，故(x_1+x_2=-8)，故④正确。

综上所述，正确的代号有①②④。

例1[熟悉函数各种性质的各种研究方法]已知函数(f(x)=x^2-2xcos x)，则下列关于(f(x))表述正确的是【】

$A.函数f(x)的图像关于y轴对称$

$B.exists x_0in R，f(x)_{min}=-1$

$C.函数f(x)有4个零点$

$D.函数f(x)有无数个极值点$

分析：对于选项(A)，考查函数的奇偶性判断；

利用定义求解如下：由于(f(-x)=(-x)^2-2(-x)cos(-x)=x^2+2xcos x)，则(f(-x) eq pm f(x))，故是非奇非偶函数；

利用奇偶性的推论求解如下：函数(y=x^2)为偶函数，(y=-2xcdotcos x)为奇函数，故(f(x))是非奇非偶函数，故(A)错误；

对于选项(B)，考查函数的最值的求解方法；

利用变形转化求解如下：由于(x^2+1=2xcos x)有解，则(x+cfrac{1}{x}=2cos x)有解，

(x+cfrac{1}{x}geqslant 2)，当且仅当(x=1)时取到等号；但此时(2cos x=2cos1<2)，

故左右不相等，即方程(x+cfrac{1}{x}=2cos x)无解，故(B)错误；

利用图像法求解如下：(x^2-2xcos xgeqslant -1)有解，即(y=x^2+1)与函数(y=2xcos x)图像有交点，

手动作图，大致能分析出两个函数图像无交点，故(B)错误[下下之选]；

对于选项(C)，考查函数的零点的求解方法[注意各种方法在一个题目中的组合使用]；(f(x)=x(x-2cosx))；

则由解方程法[方法1]得到一个零点(x=0)，接下来求(g(x)=x-2cos x)的零点个数，采用图像法[方法2]，

做出图像可知，此时只有一个交点，即函数(g(x))有一个零点，故共有(2)个零点，故(C)错误；

对于选项(D)，考查函数的极值点的求解；

由题可知(f'(x)=0)有无数个穿根零点[朝三角变换上想，注意不是相切零点]，

则(2x-2cos x+2xsin x=0)有无穷多个解，即(x(1+sin x)=cos x)，

也即(x=cfrac{cos x}{1+sin x})，而右端(cfrac{cos x}{1+sin x}= an(cfrac{pi}{4}-cfrac{x}{2}))，

关于(cfrac{cos x}{1+sin x}= an(cfrac{pi}{4}-cfrac{x}{2}))变形过程，有空整理；

而函数(y=x)和函数(y= an(cfrac{pi}{4}-cfrac{x}{2}))图像有无穷多个交点[非相切]，故选(D)；

补充思路，当(sin x=-1)时，刚好(cos x=0)，故(x(1+sin x)=cos x)成立，有无穷多个解；

解后反思：相切零点的例子，比如(y=1)和(y=cos x)的图像，所以对于函数(g(x)=x-sin x)而言，

虽说导函数(g'(x)=1-cos x)有无穷多个零点[都是相切零点，不是穿根零点]，但没有一个能成为极值点的。

上例，说明对称+对称推出周期

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1. 由于周期性体现的是函数图像的左右平移，其实质是用(x+phi)替换(x)，故自变量前面的符号是相同的；而对称性体现的是图像的对称，其横坐标必然会针对对称轴向左右平移相同的(|x|)个单位，故其自变量前面的符号是相反的； ↩︎