前言
求函数的单调区间与确定函数的单调性的方法是一致的。
图象法
- 利用(f(x))图象或做出(f(x))的图象，由图直观写出单调区间．
分析：由图可知，函数(f(x))在区间((-infty，0))和([cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，在区间([0，cfrac{1}{2}])上单调递增，
【点评】：①学会读图，解读图像时，是将变化趋势一致(仅仅上升或仅仅下降)的那部分图像，向(x)轴做射影，所得的区间即为单调区间。
②这一方法可以解决高中阶段的许多简单函数的单调性，比如基本初等函数，一次、二次函数、分段函数，抽象函数，复合函数等，
分析：由已知的分段函数(f(x))的解析式，可得分段函数(f(x-1))的解析式，
(f(x-1)=left{egin{array}{l}{1，x-1>0}\{0，x-1=0}\{-1，x-1<0}end{array} ight.)，即(f(x-1)=left{egin{array}{l}{1，x>1}\{0，x=1}\{-1，x<1}end{array} ight.)，
故函数(g(x)=x^2cdot f(x-1)=left{egin{array}{l}{x^2，x>1}\{0，x=1}\{-x^2，x<1}end{array} ight.)
做出其函数图像，从图像可知，单调递减区间是([0，1))。
注意：此题中单调递减区间不能写成([0，1])。
定义法
- 定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
分析：定义域为((-infty，0)cup(0，+infty))；
任取(x_1<x_2in (0，+infty))，
则(f(x_1)-f(x_2)=x_1-cfrac{1}{x_1}-(x_2-cfrac{1}{x_2}))
(=(x_1-x_2)-(cfrac{1}{x_1}-cfrac{1}{x_2}))
(=(x_1-x_2)-cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2})
(=(x_1-x_2)+cfrac{x_1-x_2}{x_1x_2})
(=(x_1-x_2)(1+cfrac{1}{x_1x_2})<0)
即(f(x_1)<f(x_2))，
故函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})在区间((0，+infty))上单调递增；
同理可以证明函数(f(x)=x-cfrac{1}{x})在区间((-infty，0))上单调递增；
[或者利用(f(x))为奇函数，可以证明在区间((-infty，0))上单调递增]
【点评】：①以上述题目为例，如果在区间((0，+infty))上(f(x_1)-f(x_2))的差值不能确定一定为正或为负，
则说明需要再寻找新的分点，将上述的区间细化，比如将上述区间((0，+infty))细化为((0，x_0))和((x_0，+infty))，
然后分别在区间((0，x_0))和区间((x_0，+infty))上判断(f(x_1)-f(x_2))的正负，从而确定单调区间。
②注意有效使用函数的奇偶性，简化证明。
分析：令(x_1<x_2in R)，则(x_2-x_1>0)，故(f(x_2-x_1)<1)；
则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1))
(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1))
(=f(x_2-x_1)-1<0)，
即(f(x_2)<f(x_1))，
故函数(f(x))在(R)上单调递减。
注意变形：(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1)
已知定义在((0，＋infty))上的函数(f(x))，满足 (f(xy)＝f(x)＋f(y))，(x＞1) 时，(f(x)＜0)，判断函数$ f(x)$的单调性．
分析：令(0<x_1<x_2)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，故(f(cfrac{x_2}{x_1})<0)；
则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]-f(x_1))
(=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1))
(=f(cfrac{x_2}{x_1})<0)，
故函数(f(x))在((0，＋infty))上单调递减。
注意变形：(f(x_2)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1))
已知函数(f(x))的定义域为((0，＋infty))，且对一切(x＞0)，(y＞0)都有(f(cfrac{x}{y})＝f(x)－f(y))，当(x＞1) 时，有(f(x)＞0)，判断(f(x))的单调性。
分析：令(0<x_1<x_2)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，故(f(cfrac{x_2}{x_1})>0)；
则由题目可知，(f(x_2)-f(x_1)=f(cfrac{x_2}{x_1}))
由于(x_2>x_1>0)，则(cfrac{x_2}{x_1}>1)，
故(f(cfrac{x_2}{x_1})>0)；
即(f(x_2)-f(x_1)>0)
故函数(f(x))在((0，＋infty))上单调递增。
转化法
- 利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间。
分析：(f(x)=cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+cfrac{1}{x-2}xrightarrow{x-2=t}t+cfrac{1}{t})
那么参照函数(g(x)=x+cfrac{1}{x})的单调区间，在((0，1])上单调递减，在([1，+infty))上单调递增；
将(g(x))向右平移两个单位，得到(g(x-2))，即(f(x))的函数图像，其单调区间变为在((2，3])上单调递减，在([3，+infty))上单调递增；
故限定区间((cfrac{9}{4}leqslant xleqslant 6 ))上的单调性应该是在([cfrac{9}{4}，3])上单调递减，在区间([3，6])上单调递增；
分析：(f(x)=cfrac{2018^{x+1}+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018^xcdot 2018+2016}{2018^x+1}=cfrac{2018(2018^x+1)-2}{2018^x+1}=2018-cfrac{2}{2018^x+1})
故函数(f(x))在区间([-a,a])上单调递增，故(M=f(x)_{max}=f(a))，(N=f(x)_{min}=f(-a))，
故(M+N=f(a)+f(-a)=2018-cfrac{2}{2018^a+1}+2018-cfrac{2}{2018^{-a}+1}=4036-2=4034)，故选(D).
导数法
- 利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间，这是高中阶段使用的主要方法，属于通性通法。也是高中考查的重点和难点知识。
鉴于这一内容的重要性，重新开一篇博文：导数法判断函数的单调性的策略
复合函数法
- 复合函数作为一类比较特殊的函数，其单调区间的求解自然也比较特殊，故单独加以说明。
以(y=f(g(x)))的单调区间的求解为例，总结说明其求解步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)将复合函数分解成基本初等函数(y＝f(u))，(u＝g(x))．
(3)分别确定这两个函数的单调区间．
(4)若这两个函数同增同减，则(y＝f(g(x)))为增函数；若一增一减，则(y＝f(g(x)))为减函数，即“同增异减”。
分析：令(u=x^2-3x+2)，
则原复合函数拆分为外函数(y=f(u)=log_2u)和内函数(u=x^2-3x+2)
由(u=x^2-3x+2>0)，解得(xin (-infty，1)cup(2，+infty))，
即此复合函数的定义域为(xin (-infty，1)cup(2，+infty))。
那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。
然后由(u=x^2-3x+2=(x-cfrac{3}{2})^2-cfrac{1}{4})，
则内函数(u(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增，
而外函数(y=f(u)=log_2u)在((0，+infty))上单调递增，
故复合函数(f(x))在区间((-infty，1))上单调递减，在区间((2，+infty))上单调递增。
分析：由图可知，外函数(f(x))在区间((-infty，0))和([cfrac{1}{2}，+infty))上单调递减，在区间([0，cfrac{1}{2}])上单调递增，
又(0<a<1)时，内函数(y=log_ax)在区间((0，+infty))上单调递减，
故要使得复合函数函数(g(x)=f(log_ax)(0<a<1))单调递减，
则需要(log_axin [0，cfrac{1}{2}])，即(0leq log_axleq cfrac{1}{2})，
解得(xin [sqrt{a}，1])，故选(B)。
整理好后，传递到绝对值形函数