函数概念
函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。
传统定义：设在某变化过程中有两个变量(x)、(y)，如果对于(x)在某一范围内的每一个确定的值，(y)都有唯一确定的值与它对应，那么就称(y)是(x)的函数，(x)叫做自变量。我们将自变量(x)取值的集合叫做函数的定义域，和自变量(x)对应的(y)的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
近代定义：设(A)，(B)都是非空的数集，(f：x→y)是从(A)到(B)的一个对应法则，那么从(A)到(B)的映射(f：A→B)就叫做函数，记作(y=f(x))，其中(x∈A)，(y∈B)，原象集合(A)叫做函数(f(x))的定义域，象集合(C)叫做函数(f(x))的值域，显然有(Csubseteq B)。
- 对函数概念的理解
函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
概念理解
二、基于对应基础的函数概念的理解[近代定义]
（1）首先需要先搞清楚对应的概念，
关于对应的概念，我们基于蜜蜂采蜜的生活常识来理解，可以一只蜜蜂采一朵花（称为“一对一”的对应），
可以一只蜜蜂采多朵花（称为“一对多”的对应），还可以多只蜜蜂采一朵花（称为“多对一”的对应）
即对应有一对一，一对多和多对一三种对应关系。
（2）映射
能够称为映射的对应只有一对一和多对一两种，其中一对多不能称为映射，
映射(f：A ightarrow B)和映射(f：B ightarrow A)是不一样的。
集合(A，B)不一定是数集，可以是图形集，式集，点集，向量集等，
（3）函数
非空数集(A)到非空数集(B)的映射(f：A ightarrow B)就称为函数，记为(y=f(x))。
- 符号(y=f(x))即是“(y)是(x)的函数”的数学表示，
应理解为：(x)是自变量，它是法则所施加的对象；(f)是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；
(y)是自变量的函数，当(x)为允许的某一具体值时，相应的(y)值为与该自变量值对应的函数值，
当(f)用解析式表示时，则解析式为函数解析式。(y=f(x))仅仅是函数符号，不是表示“(y)等于(f)与(x)的乘积”，
(f(x))也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号(f(x))外，还常用(g(x))，(F(x))，(G(x))等符号来表示。
（4）映射与函数的关系：
由关系图可以看出，函数是映射的特殊情况，映射是函数的拓展和推广。
函数是特殊的映射，比如(f：A ightarrow B)，其特殊性有以下两点：
①函数是从非空数集(A)到非空数集(B)的映射；
②集合(B)中的每一个元素都有原像，所以(A)是定义域，(B)是值域。
典例剖析
分析：由函数的概念可知，从非空数集到非空数集的映射中，一对一和多对一的映射能上升为函数，但是一对多的映射不能上升为函数，体现在形上，即直线(x=a)((a)为常数)与函数(y=f(x))的图像有(0)个或(1)个交点，故本题目就是用数学语言刻画的这个意思，故本题选(C)。
给定集合(A={1，2，3})，集合(B={a，b，c，d}) ，求映射(f:A ightarrow B)的个数和映射(f:B ightarrow A)的个数。
分析：依据映射的概念，映射(f:A ightarrow B)需要给集合(A)中的每一个元素(原像)，都找一个确定的对应对象(像)。
此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。
我们分步完成：先给元素(1)分配对象，每次取一个有(a、b、c、d)四种选择；
再给元素(2)分配对象，每次取一个也有(a、b、c、d)四种选择；
最后给元素(3)分配对象，每次取一个也有(a、b、c、d)四种选择，
允许出现元素(1、2、3)都对应到元素(a)上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；
利用乘法原理，映射(f:A ightarrow B)共有(4 imes 4 imes4=4^3)个，即((cardB)^{cardA})个。
同理，映射(f:B ightarrow A)共有(3^4)个，即((cardA)^{cardB})个。
给定集合(A={1，2，3})，集合(B={a，b，c}) ，求一一映射(f：A ightarrow B)的个数和一一映射(f：B ightarrow A)的个数。
先分析一一映射(f:A ightarrow B)的个数，由于是一一映射，类似有3人坐3个凳子，故有(A_3^3=6)个。
同理，一一映射(f：B ightarrow A)的个数也是(6)种。
