前言
总结归纳求曲线上的动点到直线的距离的最值问题，这样的曲线常见的有圆，椭圆，双曲线，抛物线，以及还可以拓展到函数图像上的动点到直线的距离的最值问题。
类型总结
- Ⅰ：圆上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定圆(C：x^2+y^2=4)，和直线(y=x+4)，求圆上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，圆心到直线的距离为(d)，则点线距的最大值为(d+r)，最小值为(d-r)；
②平行线法，先设与已知直线平行且和圆相切的直线为(y=x+m)，联立方程组，利用(Delta=0)求得(m)的两个值，则点线距的最小值为线线距中的最小值，其最大值为线线距中的最大值；
③参数方程法[或三角函数法]，圆上任意一点坐标((2cos heta，2sin heta))，利用点到直线的距离公式转化为三角函数求最值；
其中以几何方法最为简单；
- Ⅱ：椭圆上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定椭圆(C：cfrac{x^2}{4}+cfrac{y^2}{3}=1)，和直线(y=x+4)，求椭圆上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法，先设与已知直线平行且和椭圆相切的直线为(y=x+m)，联立方程组，利用(Delta=0)求得(m)的两个值，则点线距的最小值为线线距中的最小值，其最大值为线线距中的最大值；
③参数方程法[或三角函数法]，椭圆上任意一点坐标((2cos heta，sqrt{3}sin heta))，利用点到直线的距离公式转化为三角函数求最值；
分析：首先易知椭圆和直线没有交点，即二者相离，从而可以考虑用椭圆的参数方程或平行线法求解。
法1、利用椭圆的参数方程，由椭圆方程(cfrac{x^2}{3}+y^2=1)可知，动点坐标(P(sqrt{3}cos heta，sin heta))，
则点P到直线(x+y-8=0)的距离为(d)，则有
(d( heta)=cfrac{|sqrt{3}cos heta+sin heta-8|}{sqrt{2}}=cfrac{|2sin( heta+cfrac{pi}{3})-8|}{sqrt{2}})，
故当(sin( heta+cfrac{pi}{3})=1)时，(d_{min}=cfrac{|2-8|}{sqrt{2}}=3sqrt{2})；
(sin( heta+cfrac{pi}{3})=-1)时，(d_{max}=cfrac{|-2-8|}{sqrt{2}}=5sqrt{2})；[1]
法2、平行线法，设和已知平行且和已知椭圆相切的直线(x+y+m=0)，
则由(x+y+m=0)和(cfrac{x^2}{3}+y^2=1)，消去(y)可得(4x^2+6mx+3m^2-3=0)，
由二者相切可知，(Delta=36m^2-4 imes4(3m^2-3)=0)，解得(m=pm 2)，
即和椭圆相切的直线有(x+y-2=0)和(x+y+2=0)，故切点到直线(x+y-8=0)的距离就可以用两条平行线间的距离来刻画，
则(d_{max}=cfrac{|2-(-8)|}{sqrt{2}}=5sqrt{2})，(d_{min}=cfrac{|-2-(-8)|}{sqrt{2}}=3sqrt{2})。
- Ⅲ：抛物线上的动点到直线的距离[点线距]的最值
如给定抛物线(C：y^2=4x)，和直线(y=x+4)，求抛物线上任意一点到直线的距离[点线距]的最大值和最小值。
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法，先设与已知直线平行且和抛物线相切的直线为(y=x+m)，联立方程组，利用(Delta=0)求得(m)的一个值，则线线距即为所求的点线距的最小值；
③参数方程法[或二次函数法]，由抛物线的参数方程，比如其上任意一点坐标((2s^2，2sqrt{2}s))，利用点到直线的距离公式转化为二次函数求最值；
曲线(C)的参数方程是(egin{cases}x=2s^2\y=2sqrt{2}send{cases}(s为参数))，设(P)为曲线(C)上的动点，求点(P)到直线(l)的距离的最小值。
分析：直线(l)的直角坐标方程是(x-2y+8=0)，曲线(C)上的动点(P)的坐标((2s^2，2sqrt{2}s))，
则由点到直线的距离公式可得，
(d=d(s)=cfrac{|2s^2-4sqrt{2}s+8|}{sqrt{1^2+(-2)^2}})(=cfrac{|2(s-sqrt{2})^2+4|}{sqrt{5}})
当(s=sqrt{2})时，(d_{min}=cfrac{4sqrt{5}}{5})。
- Ⅳ：函数图像上的动点到直线的距离[点线距]的最值
常用方法：
①几何方法，失效；
②平行线法[切线法]，先设与已知直线平行且和抛物线相切的直线为(y=x+m)，此时不能利用(Delta=0)求解，
只能用切线法，则线线距即为所求的点线距的最小值；
③参数方程法，失效；
【等价题目】直线(y=x)上的点为(P(x，y))，函数(y=lnx)上的点是(Q(m，n))，求(sqrt{(x-m)^2+(y-n)^2})的最小值。
思路：平行线法，设和直线(y=x)平行且和函数(y=lnx)相切的直线为(y=x+m)，
切点为(P_0(x_0，y_0))，则有
(egin{cases} y_0=x_{0}+ m \ y_0=lnx_0 \ f'(x_0)=cfrac{1}{x_0}=1end{cases})；
从而解得(x_0=1，y_0=0，m=-1)
所以所求的点点距的最小值，就转化为切点(P_0(1,0))到直线(x-y=0)的点线距，
(d=cfrac{|1-0|}{sqrt{1^2+1^2}}=cfrac{sqrt{2}}{2})。
或者两条直线(y=x，y=x-1)的线线距(d=cfrac{|1-0|}{sqrt{1^2+1^2}}=cfrac{sqrt{2}}{2})。课件地址
对应练习
问题：为什么不设点P的坐标为((x，y))而采用参数坐标形式((sqrt{3}cos heta，sin heta))?前者坐标形式是二元形式，后者是一元形式，故后者简单。 ↩︎