导数法判断函数的单调性的策略

前言

关于用导数法判断函数的单调性问题，教材上所举例子是通过解不等式[从数的角度]求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，所以学生就依葫芦画瓢，碰到这类问题都这样做，但是他会发现在高三中的大多数同类题目都不能求解，思路自然会受阻而放弃，其实只需要老师做这样的引导：

思考方法和途径：先求定义域，解得(f'(x))，其一，令(f'(x)>0)或(f'(x)<0)，看能不能从数的角度突破，如果可以就通过解不等式得到单调区间；其二，如果(f'(x)>0)不能解再看是否可以考虑从形的角度入手分析，做出导函数的图像或其部分图像，从而得到单调区间；其三，如果以上都行不通，不妨考虑通过求二阶导来判断一阶导的正负，从而知道单调性。

储备待用

以下的知识点在用导数法判断单调性时很可能会用到，请大家逐个复习回顾。

①常见的初等函数的动态图像，需要理解掌握。

• (f(x)=e^x+a)；(f(x)=(x+1)(x+m))；(f(x)=ln(x+a))；(f(x)=x^2+a)；(g(x)=acdot x^2)；(h(x)=acdot e^x)；

如果你会使用desmos软件，可以在下面试一试含参函数的变化情况。

②用导函数的部分图像判断导函数的正负的原理解释：

说明：假定某函数的导函数为(f'(x)=e^x(x-1)(x-2))，则其图像和(y=(x-1)(x-2))的图像在解释单调性上是一样的，故我们可以借助更简单和更熟悉的二次函数(y=(x-1)(x-2))的图像来解决问题。

③求导法则和常用求导公式，复合函数的求导法则；

④用图读图能力；

⑤整体部分理论；

⑥分类讨论的技巧；先简单后复杂；

• 引申阅读：用导函数的图像判断原函数的单调性；

原始图像

用导函数的完整图像判断原函数的单调性

例1已知函数(f(x)=2x^3+ax^2+bx+1)，若(f'(x))的对称轴是(x=-frac{1}{2})，且(f'(1)=0)

(1).求(a，b)的值。

分析：由于(f'(x)=6x^2+2ax+b)，且对称轴为(x=-frac{1}{2})，则有(-frac{a}{6}=-frac{1}{2})，则(a=3)，

又由于(f'(1)=0)，则(6+2a+b=0)，解得(b=-12)，所以(a=3，b=-12)。

即函数(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1)，

(2).判断函数的单调性，并求函数的极值。

分析：因为(f(x)=2x^3+3x^2-12x+1)，(f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2))

常规的解法这样写道：

令(f'(x)>0)，即(x^2+x-2>0)，解得(x>1)或(x<-2)，

令(f'(x) <0)，即(x^2+x-2 <0)，解得$ -2<x<1$，

有了辅助图像后，我们在演草纸上画出导函数的示意图，直接这些写：

当(x< -2)时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(-2<x<1)时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(x>1)时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；然后做总结：

所以函数(f(x))在((-2，1))上单调递减，在((-infty，-2))和((1，+infty))上单调递增，

当(x=-2)时，(f(x))取得极大值，为(f(-2)=21)，

当(x=1)时，(f(x))取得极小值，为(f(1)=-6)。

分子图像

排除分母，只用导函数的分子图像判断原函数的单调性

例2已知函数(f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2)，当(m>0)时，试讨论函数(f(x))的单调性；

分析：函数的定义域为((0，+infty))，

(f'(x)=2x+cfrac{2m}{x}-(m+4)=cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=cfrac{(x-2)(2x-m)}{x})，

令(f'(x)=0)，得到(x=2)或(x=cfrac{m}{2}>0)，分类讨论如下：

当(0<cfrac{m}{2}<2)时，即(0<m<4)时， (xin (0，cfrac{m}{2}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (cfrac{m}{2}，2))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，(xin (2，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(cfrac{m}{2}=2)时，即(m=4)时，此时(f'(x)ge 0)恒成立，

当且仅当(x=2)时取得等号，故(f(x))在((0，+infty))上单调递增，

当(cfrac{m}{2}>2)时，即(m>4)时， (xin (0，2))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (2，cfrac{m}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减， (xin (cfrac{m}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

综上所述，

当(0<m<4)时， (xin (0，cfrac{m}{2}))时，(f(x))单调递增，(xin (cfrac{m}{2}，2))时，(f(x))单调递减，(xin (2，+infty))时，(f(x))单调递增，

当(m=4)时，(f(x))在((0，+infty))上单调递增，

当(m>4)时， (xin (0，2))时，(f(x))单调递增， (xin (2，cfrac{m}{2}))时，(f(x))单调递减， (xin (cfrac{m}{2}，+infty))时，(f(x))单调递增，

注意：①因式的正确分解；②分类标准的确定；③快速读图能力；

因子图像

排除乘积中的正因子，只用导函数中的部分因子函数图像判断原函数的单调性

例3已知函数(f(x)=x^2+(m+2)x+1(m为常数))，讨论函数(g(x)=e^xcdot f(x))的单调性；

分析：(g(x)=e^x[x^2+(m+2)x+1])，定义域为(R)，

则(g'(x)=e^xcdot [x^2+(m+2)x+1]+e^xcdot (2x+m+2))

(=e^x[x^2+(m+4)x+m+3]=e^x(x+1)[x+(m+3)])

令(g'(x)=0)，得到(x=-1)或(x=-(m+3))，由于(e^x>0)恒成立，

故借助开口向上的二次函数(y=(x+1)[x+(m+3)])的图像分类讨论求解如下：

①当(-(m+3)<-1)时，即(m>-2)时，

(xin (-infty，-m-3))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

(xin (-m-3，-1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (-1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

②当(-(m+3)=-1)时，即(m=-2)时，(g'(x)ge 0)恒成立，

当且仅当(x=-1)时取得等号，故(g(x))在R上单调递增；

③当(-(m+3)>-1)时，即(m<-2)时，

(xin (-infty，-1))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

(xin (-1，-m-3))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (-m-3，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

综上所述：

当(m<-2)时，函数(g(x))的单增区间为((-infty，-1))和((-m-3，+infty))，单减区间为$ (-1，-m-3)$;

当(m=-2)时，函数(g(x))只有单增区间为((-infty，+infty))；

当(m>-2)时，函数(g(x))的单增区间为((-infty，-m-3))和((-1，+infty))，单减区间为$ (-m-3，-1)$;

图像叠加

在同一个坐标系中做出几个因子函数的图像，用几个因子函数的图像和符号法则判断导函数的正负

例4已知函数(f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)^2)．讨论(f(x))的单调性．

分析：函数的定义域为(R)，

(f'(x)=1cdot e^x+(x-2)cdot e^x+2a(x-1))

(=e^x(x-1)+2a(x-1)=(x-1)(e^x+2a))，

在同一个坐标系中做出函数(y=x-1)[定图]和函数(y=e^x+2a)[动图]的图像，

根据动图(y=e^x+2a)是否与(x)轴有交点分类讨论如下：^[1]

注意分类标准和书写顺序，
先令(2a=0)，确定函数(y=e^x)的位置，然后让(2a>0)，再确定(y=e^x+2a)的位置，发现这两种情形下的(y=e^x+2a>0)恒成立，故可以合二为一；
等讨论完了这种情形后，在讨论(2a<0)，很显然(2ageqslant 0)要简单一些，故首先书写，先确定拿到一部分成绩，稳定心神；

①当(2age 0)时，即(age 0)时，恒有(e^x+2a>0)，

当(xin (-infty，1))上时，(x-1<0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)<0)，故(f(x))单调递减，

当(xin (1，+infty))上时，(x-1>0) ，则(f'(x)=(e^x+2a)(x-1)>0)，故(f(x))单调递增，

当(2a<0)时，即(a<0)时，(y=e^x+2a)与(x)轴有交点，令(e^x+2a=0)，解得(x=ln(-2a))，

然后针对(ln(-2a))与(1)的大小关系继续细分如下，主要是(ln(-2a))和(1)分别是两个因子函数的零点；

②当(ln(-2a)<1)时，即(-cfrac{e}{2}<a<0)时，

当(xin(-infty，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(ln(-2a)，1))时，(e^x+2a>0)，(x-1<0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

③当(ln(-2a)=1)时，即(a=-cfrac{e}{2})时，

当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(1，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

即(xin (-infty，+infty))时，恒有(f'(x)ge 0)，当且仅当(x=1)时取到等号，故(f(x))单调递增；

④当(ln(-2a)>1)时，即(a<-cfrac{e}{2})时，

当(xin(-infty，1))时，(e^x+2a<0)，(x-1<0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

当(xin(1，ln(-2a)))时，(e^x+2a<0)，(x-1>0)，则(f'(x)<0)，(f(x))单调递减；

当(xin(ln(-2a)，+infty))时，(e^x+2a>0)，(x-1>0)，则(f'(x)>0)，(f(x))单调递增；

综上所述，

当(a<-cfrac{e}{2})时，单增区间为((-infty，1))和((ln(-2a)，+infty))，单减区间为((1，ln(-2a)))；

当(a=-cfrac{e}{2})时，只有单增区间为((-infty，+infty))；

当(-cfrac{e}{2}<a<0)时，单增区间为((-infty，ln(-2a)))和((1，+infty))，单减区间为((ln(-2a)，1))；

当(age 0)时，单减区间为((-infty，1))，单增区间为((1，+infty))；

[点评]：由于教材上所举例子是从数的角度求解导函数的正负，从而判断原函数的单调性，故许多学生碰到这个题目时思路会受阻，需要老师做引导，如果从数的角度不能突破，可以考虑从形的角度入手分析。

特殊图像

当导函数中含有(e^x)或(lnx)类型且相加时，我们利用其各自的零点，寻找分界点判断导函数的正负，此时的两个和式的零点往往重合

例5已知函数(f(x)=e^x-ax-1(a∈R))，(g(x)=lnx)．若不等式(f(x)ge g(x))对任意的(xin (0，+infty))恒成立，求实数(a)的取值范围；

分析：由题目可知，(e^x-ax-1ge lnx)对任意的(x∈(0，+infty))恒成立，

分离参数得到，(aleq cfrac{e^x-1-lnx}{x}(x>0))；

令(h(x)= cfrac{e^x-1-lnx}{x})，需要求(h(x)_{min})，

(h'(x)=cfrac{(e^x-frac{1}{x})cdot x-(e^x-1-lnx)cdot 1}{x^2})

(=cfrac{xe^x-1-e^x+1+lnx}{x^2})

(=cfrac{(x-1)e^x+lnx}{x^2})

观察分子的和式的结构，可以发现两部分((x-1)e^x)和(lnx)的零点都是(x=1)，故分类如下：

当(xin(0，1))时，(x-1<0)，(lnx<0)，则(h'(x)<0)，(h(x))单调递减；

当(xin(1，+infty))时，(x-1>0)，(lnx>0)，则(h'(x)>0)，(h(x))单调递增；

故(h(x)_{min}=h(1)=e-1)，即(aleq e-1).

解后反思：本题目若转化为(f(x)_{min}geqslant g(x)_{max})，这是错误的。

补遗：已知函数(f(x)=cfrac{lnx+1}{e^x})，判断单调性。

(f'(x)=cfrac{frac{1}{x}-lnx-1}{e^x})，分界点为(x=1)。

二阶导数

当数的角度和形的角度都行不通时，尝试用二阶导判断一阶导的正负

例8设函数(f(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+aln(1+x))．若(a=1)，证明：当(x＞0)时，(f(x)＜e^x-1)．

分析：当(a=1)时，(f(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1))，

欲证明(x >0) 时，(f(x)<e^x-1)，即证明(x>0)时，(cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0)恒成立。

令(g(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1)，则原题目转化为证明：(g(x)_{max}<0)即可。

(g'(x)=x+cfrac{1}{x+1}-e^x)，到此尝试思考：

• 能从数的角度解不等式，找到单调区间吗？

• 能从形的角度做出图像，找到单调区间吗？如果以上两个思路都不行，我们怎么办？

令(h(x)=x+cfrac{1}{x+1}-e^x)，则(h'(x)=1-e^x-cfrac{1}{(1+x)^2})，

当(x>0)时，(h'(x)<0)恒成立，

故函数(g'(x))单调递减，则有(g'(x)<g'(0)=0)，即有(x >0)时，(g'(x)<0)恒成立，

则(x>0)时，函数(g(x))单调递减，即有(g(x)<g(0)=0)恒成立，

即(g(x)=cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)-e^x+1<0)，即(cfrac{1}{2}{x^2}+ln(x+1)<e^x-1)，

即证明了(x>0)时，(f(x)<e^x-1)。

解后反思：①用导数证明不等式时，有一个很常用的思路是作差构造新函数，转而求新函数的最值或最值的极限大于小于(0)；

②还有一个常用思路是连求两次导数，用二阶导的正负先判断一阶导的增减，再利用一阶导的增减在端点处的值再判断一阶导的正负，从而知道原函数的增减性。

不等式性质

用不等式性质判断导函数正负

例9【2019高三理科数学二轮复习用题】若存在(x_0in [e，e^2])，满足(cfrac{x}{lnx}-axleq cfrac{1}{4})，求实数(a)的取值范围；

分析：由于(x>0)，分离参数得到，(age cfrac{1}{lnx}-cfrac{1}{4x}=g(x))，需要求函数(g(x)_{min})，

(g'(x)=cfrac{-frac{1}{x}}{(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=-cfrac{1}{x(lnx)^2}+cfrac{1}{4x^2}=cfrac{-4x+(lnx)^2}{4x^2cdot (lnx)^2})

接下来利用不等式性质判断导函数的分子正负，

由于(xin [e，e^2])，则(-4xin [-4e^2，-4e])，又(lnxin [1，2])，((lnx)^2in [1，4])，

则必有(-4x+(lnx)^2<0)，即(g'(x)<0)，故(g(x))在区间([e，e^2])上单调递减，

故(g(x)_{min}=g(e^2)=cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2})，故(ain [cfrac{1}{2}-cfrac{1}{4e^2}，+infty))。

说明：本题目自然还可以使用二阶导来判断一阶导的正负；

补充：已知函数(f(x)=ax-2lnx)，若函数(f(x)+x^3>0)对任意(xin (1,+infty))上恒成立，求参数(a)的取值范围；

分析：分离参数得到，(a>cfrac{2lnx}{x}-x^2)，令(g(x)=cfrac{2lnx}{x}-x^2)

则(g'(x)=cfrac{2-2lnx-2x^3}{x^2}=g(x))，当(x>1)时，(g'(x)<0)，故(g(x))单调递减，

(g(x)_{min})的极限为(g(1)=-1)，故(ageqslant -1).

对应练习

练1【对应特殊图像情形】【2019高三理科数学信息题】已知函数(f(x)=x^2lnx+1-kx)存在零点，则实数(k)的取值范围为【】

$A(-infty，1]$ $B[1，+infty)$ $C(-infty，e]$ $D[e，+infty)$

分析：已知函数(f(x)=x^2lnx+1-kx)存在零点，即方程(f(x)=0)在定义域((0，+infty))上有解，

分离参数得到(k=cfrac{x^2lnx+1}{x}=xlnx+cfrac{1}{x})，令(h(x)=xlnx+cfrac{1}{x})，

则题目转化为(k=h(x))在((0，+infty))上有解，故要么从数的角度求函数(h(x))的值域；要么求其单调性，做函数的图像，从形的角度用数形结合求解。

以下用导数求函数(h(x))的单调性。(h'(x)=lnx+1-cfrac{1}{x^2})，

此时需要注意，导函数中出现了(lnx)，故我们将上述的函数人为的分为两个部分，(y=lnx)和(y=1-cfrac{1}{x^2})，先令(lnx=0)得到(x=1)，在将(x=1)代入(y=1-cfrac{1}{x^2})验证也是其零点，说明这两个函数的零点重合，故接下来我们将定义域分为((0，1))和((1，+infty))两部分分类讨论即可：

则(0<x<1)时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，(x>1)时，(h'(x)>0)，(f(x))单调递增，则(h(x)_{min}=h(1)=1)。

即(h(x))的值域为([1，+infty))，故(kge 1)，即(kin [1，+infty))。故选(B)

或利用单调性得到函数(h(x))的图像如下，

再利用函数(y=k)和函数(y=h(x))的图像有交点，得到(k)的取值范围为(kin [1，+infty))。故选(B)

例练【对应特殊图像情形】【2018河南郑州一模】若对于任意的正整数(x)，(y)都有((2x-cfrac{y}{e})cdot lncfrac{y}{x}leq cfrac{x}{me})成立，则实数(m)的取值范围是【】

$A.(cfrac{1}{e}，1)$ $B.(cfrac{1}{e^2}，1]$ $C.(cfrac{1}{e^2}，e]$ $D.(0，cfrac{1}{e}]$

分析：先将给定的式子通分变形为(cfrac{2ex-y}{e}cdot lncfrac{y}{x}leq cfrac{x}{me})，再次变形为((2e-cfrac{y}{x})cdot lncfrac{y}{x}leq cfrac{1}{m})，

令(cfrac{y}{x}=t>0)，则不等式变形为((2e-t)cdot lntleq cfrac{1}{m})，令(h(t)=(2e-t)cdot lnt)，则需要求(h(t)_{max})；

(h'(x)=(-1)lnt+(2e-t)cdot cfrac{1}{t}=cfrac{-t(lnt+1)+2e}{t})，先用观察法或经验找到导函数的分子的零点(t=e)，

当(tin (0，e))时，(h'(t)>0)，(h(t))单调递增，当(tin (e，+infty))时，(h'(t)<0)，(h(t))单调递减，

故(h(t)_{max}=h(e)=e)，即(cfrac{1}{m}ge e)，解得(0<mleq cfrac{1}{e})；故选(D)。

关联题型

• 依托函数的单调性，求函数的极值类型；或已知极值点，求参数的取值范围问题；

例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】设(f(x)=x-alnx)，(ain R)，

(1).当(a=2)时，求函数(f(x))在点((1，f(1)))处的切线方程；

分析：当(a=2)时，(f(x)=x-2lnx)，(f'(x)=1-cfrac{2}{x})，(f'(1)=-1)，故函数(f(x))在点((1，f(1)))处的切线方程为(y-1=-(x-1))，即(x+y-2=0)。

(2).记函数(g(x)=f(x)-cfrac{a-1}{x})，若当(x=1)时，函数(g(x))有极大值，求(a)的取值范围；

分析：(g(x)=x-alnx-cfrac{a-1}{x})，定义域为((0，+infty))，

则(g'(x)=1-cfrac{a}{x}+cfrac{a-1}{x^2}=cfrac{x^2-ax+(a-1)}{x^2}=cfrac{(x-1)[x-(a-1)]}{x^2})

令(g'(x)=0)，则(x_1=1)，(x_2=a-1)，以下针对(a-1)与(1)的关系以及定义域分类讨论如下，

①当(a-1leq 0)时，即(aleq 1)时，

当(xin (0，1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，当(xin (1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，

故(x=1)不是函数(g(x))的极大值点，不合题意；

②当(0<a-1<1)时，即(1<a<2)时，

当(xin (0，a-1))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，当(xin (a-1，1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，当(xin (1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，故(x=1)不是为函数(g(x))的极大值点，不合题意；

③当(a-1=1)时，即(a=2)时，(g'(x)ge 0)恒成立，故(x=1)不是函数(g(x))的极值点，不合题意；

④当(a-1>1)时，即(a>2)时，

当(xin (0，1))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，当(xin (1，a-1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，当(xin (a-1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，故(x=1)为函数(g(x))的极大值点，满足题意；

综上所述，当(a>2)时，(x=1)为函数(g(x))的极大值点，即所求的(a)的取值范围是((2，+infty)).

• 依托函数的单调性，求函数的最值类型；

例11【2019高三理科数学二轮复习用题】【2018宁夏银川一中一模】

已知函数(f(x)=lnx-ax^2+(a-2)x)，

(1).若(f(x))在(x=1)处取得极值，求(a)的值；

分析：由(f'(1)=0)，求得(a=-1)，经验证(a=-1)满足题意。

注意：必须要验证，使得(f'(x_0)=0)的(x_0)不见得就是极值点(变号零点)，还有不变号零点；

(2).求函数(y=f(x))在区间([a^2，a])上的最大值；

分析：由题目可知，定义域为限定定义域([a^2，a])，且由其可知(a^2-a<0)，解得参数(ain (0，1))；

求导，(f'(x)=cdots=cfrac{-2ax+(a-2)x+1}{x}=-cfrac{(2x-1)(ax+1)}{x})，做出其导函数的分子图像可知，分类讨论如下：

说明，区间([a^2，a])是区间长度变化的区间，用其和(cfrac{1}{2})的位置关系分三类讨论如下，

①当(0<aleq cfrac{1}{2})时，(f'(x)>0)，(f(x))在区间([a^2，a])上单调递增，故(f(x)_{max}=f(a)=lna-a^3+a^2-2a)；

②当(a^2ge cfrac{1}{2})且(a<1)时，即(cfrac{sqrt{2}}{2}leq a<1)时，(f'(x)<0)，(f(x))在区间([a^2，a])上单调递减，故(f(x)_{max}=f(a^2)=2lna-a^5+a^3-2a^2)；

③当(cfrac{1}{2}<a<cfrac{sqrt{2}}{2})时，(f(x))在区间([a^2，cfrac{1}{2}])上单调递增，在区间([cfrac{1}{2}，a])上单调递减，故(f(x)_{max}=f(cfrac{1}{2})=cfrac{a}{4}-1-ln2)；

综上所述：(y=f(x))在区间([a^2，a])上的最大值为(f(x)_{max}=F(a))

(F(a)=left{egin{array}{l}{lna-a^3+a^2-2a，0<aleq cfrac{1}{2}}\{cfrac{a}{4}-1-ln2，cfrac{1}{2}<a<cfrac{sqrt{2}}{2}}\{2lna-a^5+a^3-2a^2，cfrac{sqrt{2}}{2}leq a<1}end{array} ight.)

解后反思：1、参数的范围的给出方式要引起注意；2、分类讨论的标准((cfrac{1}{2})和区间([a^2，a])的位置关系分为三类；)和技巧(先两边后中间，先简单后复杂)；

• 能转化为求最值的恒成立和能成立类型，或能转化为值域的类型，如上述例5-2.

• 函数有几个零点问题，转化为(a=f(x))图像有几个交点问题，要画函数(f(x))图像需要用到导数求单调性；

• 方程有几个根的问题；

• 两个函数图像有几个交点的问题；

用导数判断函数的单调性时，常以恒正、恒负、正负夹杂三种来分类讨论；

例2讨论函数(f(x)=(a-1)lnx+ax^2+1)的单调性；

分析：定义域为((0，+infty))，(f'(x)=cfrac{a-1}{x}+2ax=cfrac{2ax^2+a-1}{x})，

[只需要关注分子函数，其正负取决于两个部分(2a)和(a-1)，当(2a>0)且(a-1geqslant 0)时，即(ageqslant 1)时得到恒正；

当(2aleqslant 0)且(a-1< 0)时，即(aleqslant 0)得到恒负；其他情形肯定是正负夹杂的情形]

①当(ageqslant 1)时，(f'(x)>0)，则(f(x))在((0,+infty))上单调递增；

②当(aleqslant 0)时，(f'(x)<0)，则(f(x))在((0,+infty))上单调递减；

③当(0<a<1)时，令(f'(x)=0)，解得(x=sqrt{frac{1-a}{2a}})，

故当(xin (0，sqrt{frac{1-a}{2a}}))时，(f'(x)<0)，当(xin (sqrt{frac{1-a}{2a}}，+infty))时，(f'(x)>0)，

即函数(f(x))在区间((0，sqrt{frac{1-a}{2a}}))单调递减，在区间((sqrt{frac{1-a}{2a}}，+infty))上单调递增。

---

1. ↩︎