均值不等式的常见使用技巧

前言

均值不等式这一素材，是高中数学中少见的几个需要同时验证成立的多条件素材。由于要多头验证，所以学生很不习惯，感觉很难掌握。

公式内容

• 已知两个正数(a，b)，则有(a+bgeqslant 2sqrt{ab})(当且仅当(a=b)时取到等号)

使用条件

• 正、定、等同时成立。 均值不等式中还有一个需要注意的地方：(a，bin R)

【错例】如已知向量的内积(vec{a}cdotvec{b}=1，)则有人这样做(vec{a}+vec{b} ge 2sqrt{vec{a}cdotvec{b}}=2)，

这是错的，因为(vec{a}，vec{b})不是实数，而是向量。

理解内涵

从表达式中的字母内涵入手理解公式

(a+bge 2sqrt{ab})，如(a、b)可以是数字，可以代数式，如单项式、多项式；整式、分式、指数式、对数式、三角式等等

比如这些表达式都可以考虑用均值不等式：

$x+cfrac{2}{x}geqslant 2sqrt{2}(x >0)$；

$cfrac{2}{x}+cfrac{x}{2}geqslant 2(x >0)$；

$2^x+2^ygeqslant 2sqrt{2^{x+y}}$；

$log_a^b+log_b^ageqslant 2(log_a^b >0)$；

$sinx+cfrac{1}{sinx}geqslant 2(0 < sinx leqslant 1)$；

$cfrac{a^2+b^2}{ab}=cfrac{a}{b}+cfrac{b}{a}geqslant 2(a，b>0)$；

当你看了以上这么多的式子时，你是否想过它们能不能用一个式子统一刻画吗？

仔细想想，再看看是不是能用$ a+bge2sqrt{ab}(a，b>0)$来表示，如果这样读书，课本自然就越读越薄了。

使用技巧

直接使用

形如这样的(x+cfrac{k}{x}(k>0))，当(x>0)时考虑直接使用； 其实这是对勾函数(f(x)=x+cfrac{k}{x}(k>0))在(x>0)时的图像最低点。

变形使用

• 负化正， (y=x+cfrac{2}{x} (x<0)) ^[1]

• 拆添项， (y=x+cfrac{2}{x-1} (x>1))

• 凑系数， (2x+3y=4,) 求(xy)的最大值(xy=cfrac{6xy}{6}=cfrac{(2x)(3y)}{6}leq cfrac{1}{6}cdot Big(cfrac{2x+3y}{2}Big)^2)

• 在指数位置使用^[2]

• 连续多次使用均值不等式^[3]

• 求限定条件下的最值[高考高频考点]

方法：常数代换和乘常数再除常数，^[4]

• 组合使用^[5]

• 构造(ax+cfrac{b}{x})型(高考中的高频变形)，

方法思路：此处应该联系分离常数方法，和化为部分分式的变形技巧以及对勾函数或叫耐克函数；^[6]

• 均值不等式失效时，需要用到对勾函数的单调性

已知正实数(a,b)满足(a+2b=1)，求(a^2+4b^2+cfrac{1}{ab})的最小值。^[7]

相关链接

• 1、在三角函数和解三角形中

• 2、例谈学习方法的改造和提升

• 3、配凑法、换元法

• 4、对勾函数的单调性

• 5、理解数学的本质提高学生数学素养

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1. 例1过点(P(2，1))作直线(l)，分别交(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，(O)为坐标原点，当( riangle AOB)的面积最小时，求直线(l)的方程；
   分析：过点(P)的直线(l)与(x)轴、(y)轴正半轴于(A)、(B)两点，
   则直线(l)的斜率(k)一定存在且小于零，故设为(y-1=k(x-2))，
   则点(A(2-cfrac{1}{k}，0))，(B(0，1-2k))，(k<0)；
   则(S_{ riangle AOB}=cfrac{1}{2}|OA|cdot |OB|=cfrac{1}{2}(2-cfrac{1}{k})(1-2k))(=cfrac{1}{2}(4-4k-cfrac{1}{k}))
   (=cfrac{1}{2}[4-(4k+cfrac{1}{k})])(=cfrac{1}{2}[4+(-4k)+cfrac{1}{(-k)}])(geqslant cfrac{1}{2}left [4+2sqrt{(-4k)cdot cfrac{1}{(-k)}};; ight ]=4)
   当且仅当(-4k=-cfrac{1}{k})，即(k=-cfrac{1}{2})时等号成立，
   故所求直线(l)的方程为(x+2y-4=0). ↩︎

2. (2^x+4^y=4)，则(x+2y)的最大值是________.
   分析：(4=2^x+4^y ge 2sqrt{2^{x+2y}})，则有(2^2 ge 2^{x+2y})，故(x+2y leq 2)。 ↩︎

3. 设(a,b)均为正实数，求证：(cfrac{1}{a^2}+cfrac{1}{b^2}+abge 2sqrt{2}).
   分析：由于(a>0,b>0)，故有(cfrac{1}{a^2}+cfrac{1}{b^2}ge 2sqrt{cfrac{1}{a^2}cdotcfrac{1}{b^2}}=cfrac{2}{ab})， 当且仅当(cfrac{1}{a^2}=cfrac{1}{b^2})，即(a=b)时等号成立；
   又(cfrac{2}{ab}+abge 2sqrt{cfrac{2}{ab}cdot ab}=2sqrt{2})，当且仅当(cfrac{2}{ab}=ab)时等号成立；
   所以(cfrac{1}{a^2}+cfrac{1}{b^2}+abge cfrac{2}{ab}+abge 2sqrt{2}) 当且仅当(egin{cases}cfrac{1}{a^2}=cfrac{1}{b^2}\cfrac{2}{ab}=abend{cases})，即(a=b=sqrt[4]{2})时取等号。 ↩︎

4. 如已知(2a+3b=2，a>0，b>0)，求(cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b})的最小值。
   (cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b}=cfrac{1}{2}cdot (2a+3b）(cfrac{3}{a}+cfrac{2}{b})=cfrac{1}{2}cdot (6+6+cfrac{4a}{b}+cfrac{9b}{a})=cdots) ↩︎

5. 【引例1】已知(a>1，b>0， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+b=3))
   【引例2】已知(a>1，b>2， a+b=4)，求(cfrac{1}{a-1}+cfrac{4}{b-2})的最小值。((a+b=4Longrightarrow (a-1)+(b-2)=1)) ↩︎

6. 比如，形如(cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}(a，b，c，d，e为常数)xrightarrow[代换法]{配凑法}ax+cfrac{b}{x})型(分子上使用均值不等式)
   形如(cfrac{dx+e}{ax^2+bx+c}(a，b，c，d，e为常数)xrightarrow[代换法]{配凑法}cfrac{1}{ax+cfrac{b}{x}})型(分母上使用均值不等式) ↩︎

7. 法1：【错解】由(a^2+4b^2+cfrac{1}{ab}ge 4ab+cfrac{1}{ab}ge 2sqrt{4}=4)，故所求的最小值是4。
   错因分析：第一次使用均值不等式时等号成立的条件是(a=2b)，又由于必须满足条件(a+2b=1)，
   可解得(a=cfrac{1}{2})，(b=cfrac{1}{4})；
   而第二次使用均值不等式时等号成立的条件是(4ab=cfrac{1}{ab})，即(ab=cfrac{1}{2})，
   而由上可知(cfrac{1}{ab}=8)，二者不可能相等，故使用错误。
   法2、由(1=a+2bge 2sqrt{2ab})，可得(0<ableq cfrac{1}{8})，当且仅当(a=2b)，即(a=cfrac{1}{2})，(b=cfrac{1}{4})时取等号；
   则(a^2+4b^2+cfrac{1}{ab}=(a+2b)^2-4ab+cfrac{1}{ab}=1-4ab+cfrac{1}{ab})，令(ab=tin(0，cfrac{1}{8}])，
   则所求为(1-4t+cfrac{1}{t}=f(t))，(tin(0，cfrac{1}{8}])，又(f'(t)=-4-cfrac{1}{t^2}<0)，
   故函数(f(t))在((0，cfrac{1}{8}])上单调递减，故最小值为(f(cfrac{1}{8})=cfrac{17}{2})。 ↩︎