前言
函数或曲线恒过定点问题，在高中数学中很常见，也很容易被忽视，如果函数或曲线恒过定点这个隐含条件使用的好，能大大方便我们的解题。
低阶储备
在分析函数恒过定点的问题时，即可以从形的角度[做函数图像+图像变换]来思考，当然更可以从数的角度[直接计算]来思考；一般来说，一个数的问题，往往有与之相应的形的问题和其对应；自然，一个形的问题，往往有与之相应的数的问题和其对应。以下主要从数的角度来计算说明；
①一次函数(y=kx+1)恒过定点((0，1))，由于(x=0)时，不论(k)为何值，都有(y=1)，故其恒过定点((0，1))；
同理，一次函数(y=k(x-1)+3)恒过定点((1，3))， 由于(x-1=0)时，即(x=1)时，不论(k)为何值，都有(y=3)，故其恒过定点((1，3))；
正因为这样，当直线经过点((0,1))时，我们常常设其解析式为(y=kx+1)，当直线经过点((1,0))时，我们常常设其解析式为(x=ky+1)；
②指数函数(y=a^x(a>0，a eq 1))恒过定点((0,1))，理由：当(x=0)时，不论(a)为何值，都有(y=a^0=1)，故其恒过定点((0,1))；
同理，指数型函数(y=a^{x-2}(a>0，a eq 1))恒过定点((1,1))，理由：当(x-2=0)时，即(x=2)时，不论(a)为何值，都有(y=a^0=1)，故其恒过定点((2,1))；
指数型函数(y=2^{x-a}+2)恒过定点((a，3))，理由：当(x-a=0)时，即(x=a)时，都有(y=2^0+2=3)，故其恒过定点((a,3))；
但是注意：指数型函数(y=acdot e^x(a>0))并不恒过定点((0，1))，而是恒过动点((0，a))；
③对数函数(y=log_ax(a>0，a eq 1))恒过定点((1，0))，理由：当(x=1)时，都有(y=log_a1=0)，故其恒过定点((1,0))；
同理，对数型函数(y=log_2{(x-b)})恒过定点((b+1，0))，理由：当(x-b=1)时，即(x=b+1)时，都有(y=log_21=0)，故其恒过定点((b+1,0))；
④绝对值型函数(y=acdot |x|(a eq 0))恒过定点((0，0))；(y=acdot |x-2|(a eq 0))恒过定点((2，0))；(y=acdot |x-2|+1(a eq 0))恒过定点((2，1))；其中(a)的作用会改变张角的方向和大小；
⑤二次函数(y=acdot x^2(a eq 0))恒过定点((0，0))；二次函数(y=acdot x^2+1(a eq 0))恒过定点((1，0))；其中(a)的作用会改变抛物线的开口方向和张角大小。
⑥若抽象函数(y=f(x-1)+3)过定点((2，4))，则抽象函数(y=f(x))过定点((1，1))；理由：由(f(2-1)+3=4)，即可得到(f(1)=1)，故(y=f(x))过定点((1，1))；
同理，若函数(y=f(x))过定点((2，4))，则函数(y=f(x-1)+3)过定点((3，7))；理由：由(f(2)=4)，则可知(f(3-1)+3=7)，即函数(y=f(x-1)+3)过定点((3，7))；
中阶储备
①共点直线系方程；比如求解直线(ax+y-3ay-1=0)所过的定点坐标；
分析：将其整理为共点直线系方程形式：(a(x-3y)+y-1=0)，
则直线(ax+y-3ay-1=0)一定经过直线(x-3y=0)和直线(y-1=0)的交点；
由(left{egin{array}{l}x-3y=0\y-1=0end{array} ight.)，解得(left{egin{array}{l}x=3\y=1end{array} ight.),
则直线(ax+y-3ay-1=0)所过的定点坐标为((3,1)).
②过定点和动点的抛物线族；
比如，函数(f(x)=(2x-2)(x-a))，则抛物线一定经过定点((1,0))和动点((a,0))；
③已知曲线(F_1(x，y)=0)，(F_2(x，y)=0)相交于点((x_0，y_0))，则曲线(F_1(x，y)+lambdacdot F_2(x，y)=0)必经过点((x_0，y_0))，
证明：由于曲线(F_1(x，y)=0)，(F_2(x，y)=0)相交于点((x_0，y_0))，则其必然满足(F_1(x_0，y_0)=0)，(F_2(x_0，y_0)=0)，
则(F_1(x_0，y_0)+lambdacdot F_2(x_0，y_0)=0+lambda imes 0=0)，故曲线(F_1(x，y)+lambdacdot F_2(x，y)=0)必经过点((x_0，y_0))，
④若曲线(F_1(x，y)+lambdacdot F_2(x，y)=0)必经过点((x_0，y_0))，则定点坐标由方程组(egin{cases}F_1(x，y)=0\F_2(x，y)=0end{cases})求解得到。
⑤圆锥曲线的焦点弦？待思考。
⑥证明直线经过某个定点(2,1)，则直线的方程一定可以转化为形如(y-1=m(x-2))的形式，(m)一般为题目中给定的参变量。
高阶储备
函数与导数题型中的函数恒过定点问题，更值得学有余力的同学关注，因为题目中的函数往往是我们自己主动变形后构造的，等吃力的构造好函数，我们一般也就没有精力注意恒过定点问题了。其实此时涉及到的函数往往是上述的简单函数的代数和，而且大多情形下，参与代数和的几个函数都是零点相同的，比如函数(g(x)=lnx+1-x)，我们可以认为其由函数(y_1=lnx)和函数(y_2=1-x)相加得到，两个子函数的零点都是(x=1)，故我们应该很容易看出来(g(1)=0)；
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再比如函数(g(x)=ln(x-1)+2-x)，我们应该看出来(g(2)=0)；
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再比如已知(lambda(x-1)-2lnx ge 0)对任意(xin(0，1])恒成立，若令(h(x)=lambda(x-1)-2lnx)，你就应该看出来(h(1)=0)；
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再比如函数(h(t)=2e^{t-frac{1}{2}}-cfrac{1}{t})，则(h(cfrac{1}{2})=0)；
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再比如函数(f(x)=e^{x-1}-lnx-1)，则有(f(1)=0)；
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再比如函数(f(x)=2x+1+e^{x+1})，则有(f(-1)=0)；
典例剖析
法1：从数的角度思考分析，类比(y=kx+1)恒过定点((0，1))的方法思路，令(y=0)，得到(x^2=1)，故上述曲线恒过定点((pm 1，0));
法2：从形的角度思考分析，变形得到(cfrac{x^2}{1}+cfrac{y^2}{frac{1}{lambda}}=1)，用动态的观点思考，当(lambda)变化时，椭圆或者双曲线与(x)轴的交点坐标((-1，0))和((1，0))始终不变，故曲线恒过定点((pm 1，0));
法1：从形入手分析，将函数(y=f(x))的图像关于(y)轴对称得到函数(y=f(-x))，故(y=f(-x))一定经过点((-1,1))，再将函数(y=f(-x))的图像向右平移(4)个单位，得到函数(y=f(4-x))的图像，故函数(y=f(4-x))的图像一定经过点((3,1)).
法2：从数入手分析，由题目可知，(f(1)=1)，故对函数(y=f(4-x))而言，令(x=3)，则有(f(4-3)=f(1)=1)，故函数(y=f(4-x))的图像一定经过点((3,1)).