为什么说数列是特殊的函数

前言

函数特性

既然是按照一定的次序排列而成的一列数字，那么这些数字((a_n))自然就是次序(n)的函数，所以我们学习数列时，首先就应该从函数的角度体会这个特殊的数学素材，即(a_n=f(n))。不过和以前我们学习的函数有点不一样，比如(f(x)=2x^2-3x+1，xin [-2，16])，其图像是区间([-2，16])上的连续曲线，没有间断的，而数列(a_n=2n^2-3n+1)，她的图像是一些离散的点，这些点并不能连成曲线，原因是自变量(n)的取值不是连续取值，意思是当(n=3)后，只能取(n=4)，不能取(n=3.01)或(n=3.5)等这些值。

特殊之处

其特殊性体现在以下几个方面：

其一、定义域比较特殊，数列的定义域是正整数集(N^*)或者正整数集的有限子集({1，2，3，cdots，n})，注意数列中没有(a_0)项；

其二、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的最值和二次函数不一样；

其三、以比较特殊的数列为例，比如二次型的数列的单调性和二次函数不一样；

典例剖析

已知(a>0)，数列({a_n})满足(a_n=egin{cases}(3-a)n-3，nleq 7 \ a^{n-6}，n>7 end{cases})，数列({a_n})是单调递增数列，求(a)的取值范围。

考点：数列的单调性，分段函数，数列与分段函数的交汇

分析：由题目可知，(egin{cases} 3-a>0，\ a>1，\ (3-a)7-3<a^{8-6}，end{cases})，解得：(ain(2，3))

感悟反思：1、如果是一般的函数(f(x))，则比较点(A)和点(C)的函数值的大小关系；现在是分段数列，那么我们需要比较的是点(A)和点(B)的函数值的大小关系；

已知(a>0)，函数(f(x))满足(f(x)=egin{cases} (3-a)x-3 &xleq 7 \ a^{x-6} &x>7 end{cases})，函数(f(x))在(R)上单调递增，求(a)的取值范围。

分析：由题目可知，(egin{cases} &3-a>0 ① \ &a>1 ②\ &(3-a)7-3leq a^{7-6}③end{cases})；即(egin{cases}&a<3 \ &a>1 \ &age cfrac{9}{4}end{cases})

解得：(ain[cfrac{9}{4}，3))；

反思：1、本题目常犯的错误是缺少第三条的限制；学生常认为函数在两段上分别单调递增，则在整体定义域(R)上一定单调递增，这个认知是错误的。原因是前者是后者的必要不充分条件。

2、防错秘籍：既要保证每段上的单调性，还要保证转折点处的单调性。

已知数列({a_n})中，(a_n=n^2-kn(kin N))，且({a_n})单调递增，则(k)的取值范围为【 】

$A.(-infty，2]$ $B.(-infty，3)$ $C.(-infty，2)$ $D.(-infty，3]$

考点：数列的单调性，二次函数的对称性和单调性，恒成立命题

【法1】：利用数列单调性的一般定义求解；

由于(a_n=n^2-kn(nin N^*))，且({a_n})单调递增，

所以(a_{n+1}-a_n>0)对(forall nin N*)都成立，

又(a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-k(n+1)-n^2+kn=2n+1-k)，所以由(2n+1-k>0)，

即(k<2n+1)恒成立，可知(k<(2n+1)_{min}=3).

【法2】：借助数列对应的二次函数独特性质，如对称性和单调性求解

(a_n=(n-cfrac{k}{2})^2-cfrac{k^2}{4})，其对称轴是(n=cfrac{k}{2})，

要使得({a_n})单调递增，

则必须且只需(cfrac{k}{2}<cfrac{3}{2})，解得(k<3)，故选B。

【法3】：使用导数法求解，

由(a_n=f(n)=n^2-kn)为单调递增数列，则(f'(n)ge 0)在(nin N^*)上恒成立，

即(f'(n)=2n-kge 0)在(nin N^*)上恒成立，分离参数得到，

(kleq 2n)在(nin N^*)上恒成立，即(kleq (2n)_{min}=2)，

则(kleq 2)。这个解法是错误的。

【错因分析】：若数列(a_n=f(n))单调递增，但函数(y=f(x))不一定单调递增；但是若函数(y=f(x))单调递增，则其对应的数列(a_n=f(n))必然单调递增。

感悟反思：1、法1转化为恒成立问题，很好理解；2、法2很容易错解为 (cfrac{k}{2}<1)，故(k<2)，其实这是充分不必要条件，也就是说遗漏了一部分的解集，可以看看上面的图像解释。

已知数列({a_n})满足 (a_{n+1}=a_n+2n)，且(a_1=33)，则(cfrac{a_n}{n})的最小值为 【 】

$A.21$ $B.10$ $C.cfrac{21}{2}$ $D.cfrac{17}{2}$

考点：数列的单调性，对勾函数的单调性，

分析：选 C。由已知条件可知，当(nge 2) 时，

(a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+cdots+(a_n-a_{n-1})=33+2+4+…+2(n-1))

(=n^2-n+33)， 又(n=1)时，(a_1=33)，满足此式。

所以(cfrac{a_n}{n} =n+cfrac{33}{n} -1)

令(f(n)=cfrac{a_n}{n}=n+cfrac{33}{n} -1)，则(f(n))在([1，5])上为减函数，

在([6,+infty))上为增函数，又(f(5)=cfrac{53}{5})，(f(6)=cfrac{21}{2})，则(f(5)>f(6))，故(f(n)=cfrac{a_n}{n})的最小值为(cfrac{21}{2}) 。

感悟反思：1、对勾函数的单调性我们必须掌握的非常清楚。2、参考阅读对勾函数

已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n=acdot 2^{n-1}+cfrac{1}{6})，则(a)的值为 【 】

$A.-cfrac{1}{3}$ $B.cfrac{1}{3}$ $C.-cfrac{1}{2}$ $D.cfrac{1}{2}$

考点：等比数列的前(n)项和的性质，数列的函数特性

分析：选 A.

法1：当(nge 2) 时，(a_n=S_n-S_{n-1}=acdot 2^{n-1}-acdot 2^{n-2}=acdot 2^{n-2}，)

当(n=1)时，(a_1=S_1=a+cfrac{1}{6})，

又由于(n=2)时，(a_2=acdot 2^{2-2}=a)，公比为(q=cfrac{a_n}{a_{n-1}}=2)，故(a_1=cfrac{a}{2})

所以(a+cfrac{1}{6}=cfrac{a}{2})，所以(a=-cfrac{1}{3})。选 A.

法2：将(S_n=acdot 2^{n-1}+cfrac{1}{6})变形为(S_n=cfrac{1}{2}acdot 2^n+cfrac{1}{6})，
由引例可知，(cfrac{1}{2}a+cfrac{1}{6}=0)，解得(a=-cfrac{1}{3})。选 A.

感悟反思：1、等比数列的前(n)项和的性质引申：

【引例】已知等比数列的前(n)项和(S_n=rcdot 2^n-1)，则(r=1)。

原因分析：由于等比数列的前(n)项和(S_n=cfrac{a(1-q^n)}{1-q}=cfrac{a}{1-q} imes(1-q^n))，

如果令(cfrac{a}{1-q}=-c)，则等比数列的前(n)项和(S_n=cq^n-c).由此可得，题目中的(r=1).

已知(a_n=cfrac{n-4}{n-frac{9}{2}})，求数列({a_n})的最小项和最大项；

分析：我们依托数列所对应的函数(f(x)=cfrac{x-4}{x-frac{9}{2}}=cfrac{2x-8}{2x-9}=cfrac{2x-9+1}{2x-9}=1+cfrac{1}{2x-9})

做出其图像，其对称中心为点((4.5，1))，

由图可知，当(nleqslant 4)时，数列({a_n})单调递减，且有(1>a_1>a_2>a_3>a_4)；

当(ngeqslant 5)时，数列({a_n})单调递减，且有(a_5>a_6>a_7>cdots > 1)；

故数列({a_n})的最小项为(a_4)，最大项为(a_5)；

已知数列({a_n})的通项为(a_n=(n+1)(cfrac{10}{11})^n)，(nin N^*)，

①求证：数列({a_n})先递增后递减；

证明：由于(a_n=(n+1)(cfrac{10}{11})^n)，则(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{10}{11}(1+cfrac{1}{n+1}))

而函数(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=cfrac{10}{11}(1+cfrac{1}{n+1}))是单调递减的，

令(cfrac{10}{11}(1+cfrac{1}{n+1})=1)，解得(n=9)，即(a_9=a_{10})；

令(cfrac{10}{11}(1+cfrac{1}{n+1})>1)，解得(n<9)，即当(nleqslant 8)时，(a_{n+1}>a_n)；

令(cfrac{10}{11}(1+cfrac{1}{n+1})<1)，解得(n>9)，即当(ngeqslant 10)时，(a_{n+1}<a_n)；

故数列({a_n})先递增，后递减；

②求数列({a_n})的最大项；

分析：由上述分析可知，(a_1<a_2<a_3<cdots<a_8<a_9=a_{10}>a_{11}>a_{12}>a_{13}>cdots)，

故最大项为(a_9=a_{10});