函数的周期性

前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性周期性习题；

周期概念

(1)、周期函数：对于函数(y＝f(x))，如果存在一个非零常数 (T)，使得当(x) 取定义域内的任何值时，都有(f(x+T)=f(x))，那么就称函数(y＝f(x))为周期函数，称(T) 为这个函数的周期。

• 如果(cdots)，那么(cdots)句式，说明不是所有的函数都满足(f(x+T)=f(x))，即有些函数不是周期函数。

(2)、最小正周期：如果在周期函数(f(x))的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做(f(x))的最小正周期。

• 理解概念中的关键词，知道有些函数如(f(x)=2^x)不是周期函数，有些函数仅有正周期如(f(x)=sinx，xin[0，+infty))或者仅有负周期；

• 常函数(f(x)=c(c为常数))没有最小正周期，如(f(x)=c)，则(f(x+T)=c)，此时的(T)没有最小的正数。

常见方式

• 1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出周期(T)。

• 2、以周期的定义式给出；

常见定义式：(f(x+4)=f(x)Longrightarrow T=4)

定义式的常见变形：(f(x+2)=f(x-2))或者(f(x+3)=f(x-1) Longrightarrow T=4)

• 3、以周期性的结论给出(不妨设(a>0))；

结论1：(f(x+a)=-f(x))或者变形 (f(x+a)+f(x)=0Longrightarrow T=2a)；推导：^[1]

引申1：(f(x+a)=b-f(x))或者变形(f(x+a)+f(x)=bLongrightarrow T=2a)；推导：^[2]

结论2：(f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}(k eq 0))或者变形(f(x+a)cdot f(x)=k Longrightarrow T=2a)；推导：^[3]

• 4、以三个连续自变量的形式给出

给出表达式：(f(x+2)=f(x+1)-f(x)Longrightarrow f(x+3)=-f(x)Longrightarrow T=6)；推导：^[4]

• 5、以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；

引例，已知函数(f(x))是奇函数，且满足(f(2-x)=f(x))，则可知函数的周期(T=4)；推导：^[5]

• 6、以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数(f(x))的图像关于点((3,0))对称，且满足(f(2-x)=f(x))，则可知函数的周期(T=8)；推导：^[6]

其他方式

• 0、分段函数的部分周期性

如已知(f(x))的定义域为(R)，且(f(x)=egin{cases}2^{-x}-1，&xleq 0 \f(x-1)，&x>0end{cases})，

则函数在(x<0)上没有周期性，但是在(x>0)上有周期性，周期是(T=1)，

• 1、以赋值法的模式给出

比如表达式：(f(x+6)=f(x)+f(3))，且(f(x))为偶函数，(Longrightarrow T=6)(赋值法)；^[7]

• 2、以赋值法[更难]的模式给出

引例：已知函数(f(x))满足(f(1)=cfrac{1}{2})，且(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y))，求(f(0)+f(1)+) (f(2)+) (cdots+) (f(2016))的值。^[8]

• 3、以综合表达式的形式给出；

比如给出(f(x+2)=cfrac{1}{2}f(x))，意味着周期性和伸缩性同时起作用。

• 4、以新定义和函数的迭代形式给出：

例1【2020届宝鸡质检2文数第16题】若(f(n))为(n^2+1(nin N^*))的各位数字之和，如(14^2+1=197)，则(f(14))(=1+9+7=17)；记(f_1(n)=f(n))，(f_2(n)=f(f_1(n)))，(f_3(n)=f(f_2(n)))，(cdots)，(f_{k+1}(n)=) (f(f_k(n)))，(k∈N^*)，则(f_{2020}(8))= _________ .

分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；

由题目的定义可知，(f(8))表示的是(8^2+1)的各位数字之和，

由于(8^2+1=65)，则(f(8)=6+5=11)，这样(f_1(8)=f(8)=6+5=11)，

由于(11^2+1=122)，则(f(11)=1+2+2=5)，故(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5)，

由于(5^2+1=26)，则(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8)，

由于(8^2+1=65)，故(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11)，

由于(11^2+1=122)，故(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5)，

故函数(f_n(8))的周期(T=3)，(f_{2020}(8)=f_{673 imes 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11);

故答案为(11).

数列周期

• 由于数列是特殊的函数，故数列的周期推导过程其实也与函数的周期推导是一致的。

比如数列({a_n})满足关系：(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n)，则可以推出数列的周期(T=6)；

解释：(f(n+2)=f(n+1)-f(n)Longrightarrow f(n+3)=-f(n)Longrightarrow T=6)

补遗：

(f(x)+1=cfrac{1}{f(x+1)})，则周期为(T=?)

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1. 【常见结论1推导过程】：
   由题目可知，(f(x+a)=-f(x))，则(f(x+2a)=f[(x+a)+a])
   (xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-[-f(x)]=f(x))
   从而，(Longrightarrow T=2a)。 ↩︎

2. 【常见结论1的引申推导】：
   (f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)Longrightarrow T=2a)
   具体例子，(f(x)+f(x+4)=16)，周期(T=8)。 ↩︎

3. 【常见结论2推导过程】：
   (f(x+2a)=f[(x+a)+a]=cfrac{k}{f(x+a)}=cfrac{k}{cfrac{k}{f(x)}}= f(x))
   从而，(Longrightarrow T=2a) ↩︎

4. 【三个连续自变量的形式推导过程】
   由已知(f(x+2)=f(x+1)-f(x)①)，
   用(x-1)代换(x)，得到由此得到(f(x+1)=f(x)-f(x-1)②)，
   ①②两式相加得到(f(x+2)=-f(x-1))，
   即(f(x+3)=-f(x))，故周期为(T=6)， ↩︎

5. 分析：则由(egin{align*} f(2-x)&=f(x)\- f(-x)&= f(x)end{align*}Bigg})
   (Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)Longrightarrow f(2+x)=- f(x)Longrightarrow)周期(T=4) ↩︎

6. 分析：由函数(f(x))的图像关于点((3,0))对称，即有(f(x)+f(6-x)=0)，
   则由(egin{align*} f(x)&=f(2-x)\ f(x)&=-f(6-x)end{align*}Bigg})(Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x))
   (Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]Longrightarrow f(x)=-f(4+x)Longrightarrow)周期(T=8) ↩︎

7. 提示：用到赋值法，令(x=-3)，则有(f(-3+6)=f(-3)+f(3))，再由奇偶性推出(f(3)=0)，从而(f(x+6)=f(x))，故(T=6)。
   引申：(f(x+6)=f(x)+ncdot f(3)(nin N^*))，且(f(x))为偶函数，(Longrightarrow T=6)(赋值法)
   同理，(f(x+4)=f(x)+f(2))可以推出周期(T=4)。 ↩︎

8. 分析：令(x=y=0)，则有(2f(0)=2f^2(0))，得到(f(0)=0或f(0)=1)；
   再令(x=1，y=0)，则有(2f(1)=2f(1)f(0))，得到(f(0)=1)；
   又题目已知(f(1)=cfrac{1}{2})，令(y=1)，则有(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x))，
   即就是(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①)，由此得到(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②)，
   ①②两式相加得到(f(x+2)=-f(x-1))，即(f(x+3)=-f(x))，故周期为(T=6)， ↩︎