前言
典例剖析
分析：由于函数(f(x+1))是奇函数，故(f(-x+1)=-f(x+1))，即(f(-x+1)+f(x+1)=0)，
故函数(f(x))关于点((1，0))对称，则有(f(x)+f(2-x)=0)，即(f(2-x)=-f(x))，
又函数(f(x+1))是周期函数，故(f(x))也是周期为2的周期函数，
则有(f(2-x)=f(-x))，故(f(-x)=-f(x))，即函数(f(x))为奇函数，
(f(-cfrac{3}{2})=-f(cfrac{3}{2})=-f(cfrac{3}{2}-2)=-f(-cfrac{1}{2})=2cdot(-cfrac{1}{2})(-cfrac{1}{2}+1)=-cfrac{1}{2})。
分析：由函数(f(x+1))是偶函数，得到(f(-x+1)=f(x+1))，
由此得到函数(f(x))关于直线(x=1)对称，故有(f(x)=f(2-x))，
又函数(f(x))还是奇函数，即(f(x)=-f(-x))，
这样得到(f(2-x)=-f(-x))，将(-x)换为(x)，于是得到(f(x+2)=-f(x))，即周期为4。
由于(f(x))是定义在R上的奇函数，则有(f(0)=0=f(4))，
在(f(x)=f(2-x))中，令(x=0)得到(f(2)=f(0)=0)，容易得到(f(3)=0)，
而(f(1)=f(-3)=-f(3)=0)，故(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0).
分析：自己作图，读图即可解答，解集为((-1，0)cup(1，3))；
法2：还可以利用周期和对称性求得(f(x))的解析式，
代入计算，当然这个方法没有图像法直观快捷。
分析：本题目容易漏掉的一个条件是(f(-1)=f(1))。
分析：这类题目一般要考虑定义域和单调性，其中单调性的作用是去掉符号(f)，
①，由定义域可知，(-2leq 1-mleq 2)且(-2leq 1-m^2leq 2)
②、为去掉符号(f)，转化为(f(1-m)<-f(1-m^2)),到此还不能顺利利用单调性，
其一奇函数和在区间([-2,0])上递减，得到函数(f(x))在区间([-2,2])上递减，
还需要利用奇函数转化为(f(1-m)<f(m^2-1)),这样就能利用单调性去掉符号(f)了，
解析：有题目可知(egin{cases}-2leq 1-mleq 2 ①\-2leq 1-m^2leq 2 ②end{cases})，
又函数为奇函数和在区间([-2,0])上递减，得到函数(f(x))在区间([-2,2])上递减，
则(f(1-m)+f(1-m^2)<0)转化为(f(1-m)<-f(1-m^2)=f(m^2-1))，
故有(1-m>m^2-1③)，联立①②③得到(min [-1，1))。
法1分析：令(h(x)=f(x)g(x)),则函数(h(x))为奇函数，则(h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))，
由题目可知，当(x<0)时，(h'(x)>0)，即函数(h(x))在区间((-infty，0))上单调递增，
在区间((0，+infty))上单调递增，又(g(-3)=0)，则(h(-3)=f(-3)g(-3)=0)，
故在区间((-infty，-3))上(h(x)<0)，在区间((-3，0))上(h(x)>0)，
(h(0)=0)是单独定义的，又由函数(h(x))为奇函数，
故在区间((0,3))上(h(x)<0)，(h(3)=0)，在区间((3，+infty))上(h(x)>0),
故不等式(f(x)g(x)<0)的解集即(h(x)<0)的解集为((-infty,-3)cup(0,3))。
反思总结：注意函数(h(x)=f(x)g(x))的零点有三个(x=-3、x=0、x=3)，
本题目容易错误的理解为在((-infty，0))单增，在((0，+infty))单增，在(x=0)处有定义，
那么在((-infty，+infty))单增，这样函数(h(x))的零点只有一个，这样的理解是错误的。
只有函数(h(x))在(x=0)处左右连续，且(limlimits_{x o 0^+} h(x)=limlimits_{x o 0^-} h(x)=h(0))，
此时的(h(x))才只有一个零点。
法2：由上述解法可知，函数(h(x))在((-infty，0))上单调递减，
在((0，+infty))上单调递增，故由(h(x)<0=h(-3))，
和(h(x)<0=h(3))得到，解集为((-infty,-3)cup(0,3))。
分析：(frac{f(x)+f(frac{3y}{2})}{2x+3y}<0)可以先变形为 (frac{f(x)+f(frac{3y}{2})}{x+frac{3y}{2}}<0)，即(frac{f(x)-f(-frac{3y}{2})}{x-(-frac{3y}{2})}<0)，
令(x_1=x，x_2=-cfrac{3y}{2})，则(cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0)，即函数(f(x))为R上的减函数，
结合(2x>-3y),可得(f(2x)<f(-3y)=-f(3y))，故有(f(2x)+f(3y)< 0)。故选(C)。
法1：先求得函数(f(x))的解析式，转化为分段函数不等式求解；
当(x<0)时，则(-x>0)，故(f(x)=-f(-x)=-(1-2^x)=-1+2^x)，
故函数(f(x))的解析式为(f(x)=egin{cases}1-2^{-x}，&xge 0\-1+2^x，&x<0end{cases})，求(f(x)<-cfrac{1}{2})，
等价转化为(egin{cases}xge0\1-2^{-x}<-cfrac{1}{2}end{cases})，或(egin{cases}x<0\-1+2^x<-cfrac{1}{2}end{cases})，
解得(x<-1)，故选(A)；
法2：利用奇函数的对称性求解，由于奇函数的图像关于原点对称，
当(x>0)时，(f(x)=1-2^{-x}>0)，而(f(x)<-cfrac{1}{2})的解集和(f(x)>cfrac{1}{2}(x>0)) 的解集关于原点对称，
故先求解不等式(f(x)>cfrac{1}{2}(x>0)) ，
得到(1-2^{-x}>cfrac{1}{2}(x>0))，解得(x>1)，
故原不等式(f(x)<-cfrac{1}{2})的解集为(x<-1)，故选(A)。
分析.根据题中所给的函数解析式,可知函数(y=e^x，y=ln(x+1))在([0，+infty))上是增加的,
故函数(f(x)=e^x+ln(x+1))在([0，+infty))上是增加的,
根据偶函数图像的对称性,可知函数在((-infty，0])上是减少的,
所以(f(a)<f(a-1))等价于(|a|<|a-1|)，两边同时平方去掉绝对值符号，
解得(a<cfrac{1}{2})，故选(B)。
解后反思：①、本题目如果分类讨论去掉符号(f)，就会变得很麻烦。②、遇到两个绝对值符号，通常平方处理。
分析：(f(x+2pi)=f[(x+pi)+pi]=f(x+pi)+sin(x+pi))
(=[f(x)+sinx]-sinx=f(x))，故(T=2pi)，
则(f(cfrac{23pi}{6})=f(pi+cfrac{5pi}{6})=f(cfrac{5pi}{6})+sincfrac{5pi}{6}=0+cfrac{1}{2}=cfrac{1}{2})。
①(f(x)+f(-x)=0)；
②(f(x)=f(x+2))；
③当(0leq x<1)时，(f(x)=2^x-1)，
则(f(cfrac{1}{2})+f(1)+f(cfrac{3}{2})+f(2)+f(cfrac{5}{2}))的值是_________。
分析：由①知，函数为奇函数，在利用③先做出([0，1))上的图像，
再利用奇函数，做出((-1，0])上的图像，一个周期基本完成，就差端点值(f(-1))和(f(1))的值未确定；
难点是求(f(1))的值，可以通过以下几个思路求解，
法1：图像法，假设(f(1)=cfrac{1}{2})，则(f(-1)=-cfrac{1}{2})，奇偶性是说的通的，
但是周期性不满足，因为向右平移一个周期后，元素(1)对应(cfrac{1}{2})，还对应(-cfrac{1}{2})，
出现了一对多，不是函数了，故只能有(f(1)=0)，即也有(f(-1)=0)，
这样在一个周期上奇偶性和周期性都是满足的。
法2：题中没有明确告诉，但是由①②可知，
(f(x+2)=-f(-x))，即(f(x+2)+f(-x)=0)，即对称中心是((1，0))，
这时要么函数在((1，0))处没有定义，这个不满足题意；
要么必有(f(1)=0)，则(f(-1)=0)；其余就好处理了。
法3：赋值法，由(f(x)+f(-x)=0)，令(x=1)，得到(f(1)+f(-1)=0)①，
令(x=-1)，由(f(x)=f(x+2))得到，(f(-1)=f(1))②，故有(f(1)=f(-1)=0)，
在此基础上，做出函数的大致图像，可知(f(1)=f(2)=f(0)=0)，
(f(cfrac{3}{2})+f(cfrac{5}{2})=0)，(f(cfrac{1}{2})=sqrt{2}-1)，
故(f(cfrac{1}{2})+f(1)+f(cfrac{3}{2})+f(2)+f(cfrac{5}{2})=sqrt{2}-1)。