前言
充分必要条件的题目,其实质是〔左(Rightarrow)右〕和〔左(Leftarrow)右〕的推出关系是否成立。判定定理都是充分条件;性质定理都是必要条件;
推断方法
①充分必要条件的定义法;
②集合法;
③等价命题法;
典例剖析
①“(a>b)”是“(a^2>b^2)”的既不充分也不必要条件,和函数(y=x^2)的单调、奇偶有关;
②“(a>b)”是“(a^3>b^3)”的充要条件,和函数(y=x^3)的单调性有关;
③“(a>b)”是“(|a|>|b|)”的既不充分也不必要条件,和函数(y=|x|)的单调、奇偶有关;
分析:条件(a >0,b >0,a^2+b^2 <1)对应位于第一象限的单位圆内部的点的横纵坐标,故(0< a<1)且(0< b<1);
而结论(ab+1>a+b)等价于((a-1)(b-1)>0),即(a>1,b>1)
或者(0< a<1,0< b<1(本题有前提条件));
故(a^2+b^2<1)能推出(ab+1>a+b),但反之不成立,选A。
法1:先看左(Longrightarrow)右,由(a > b>1)可知,
(ab>0,a-b>0,ab-1>0),
(a+cfrac{1}{a}-b-cfrac{1}{b}=(a-b)cfrac{ab-1}{ab}>0),
故(a>b>1)能推出(a+cfrac{1}{a}> b+cfrac{1}{b});
再看右(Longrightarrow)左,当(a=cfrac{1}{4},b=cfrac{1}{2})时满足(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b}),
但是不满足(a>b>1),故是充分不必要条件。
法2:借助函数(f(x)=x+cfrac{1}{x}),
则(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})即就是(f(a)>f(b)),
结合对勾函数的图像,很容易判定(a>b>1)能推出(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b});
但是由(a+cfrac{1}{a}>b+cfrac{1}{b})却不能推出(a>b>1)。
故是充分不必要条件。
分析:由于在区间((0,cfrac{pi}{2}))上,函数(y=x>0)和函数(y=sinx>)且两个都单调递增,
故(y=xcdot sinx)在区间((0,cfrac{pi}{2}))上单调递增,
同理函数(y=xcdot sin^2x)在区间((0,cfrac{pi}{2}))上单调递增,
且在区间((0,cfrac{pi}{2}))上,(y=xcdot sinx)图像会高于(y=xcdot sin^2x)的图像,
其图像会很类似(y=x^2)和(y=x^3)在((0,1))段的大致图像。
故由(xsin^2x<1)不能推出(y=xsinx<1),
但是由(y=xsinx<1)能推出(y=xsin^2x)。
法2:区间((0,cfrac{pi}{2}))上,(0< sinx <1),故(0< sin^2x < sinx <1),
故(xsin^2x < xsinx),当(xsinx <1)时,必能推出(xsin^2x <1),
但是由(xsin^2x <1)并不能推出(xsinx <1),故选必要不充分条件。
分析:由于(0<x<1),则(0<x^2<x<1),由于(sinx)在((0,1))上单调递增,故得到(sinx^2<sinx),即充分性成立;
若(cfrac{pi}{2}<x<x^2<pi),则由于(sinx)在((cfrac{pi}{2},pi))上单调递减,必有(sinx^2<sinx),而由(cfrac{pi}{2}<x<x^2<pi),
得到(cfrac{pi}{2}<x<sqrt{pi}),而不是得到(0<x<1),故必要性不成立,故选(A)。
分析:当(a_1 < a_2 < a_3)时,设公比为(q),则有(a_1 < a_1q < a_1q^2);
若(a_1>0),则有(1< q< q^2),得到(q >1),
此时(a_n=a_1cdot q^{n-1}),指数型函数,单调递增;
若(a_1<0),则有(1> q > q^2),得到(0< q <1),
此时(a_n=a_1cdot q^{n-1}),指数型函数,单调递增;
反之,当数列({a_n})是递增等比数列,必有(a_1 < a_2< a_3),
故选 C、充分必要条件 。
反思:由等比数列的通项公式可知,(a_n=a_1cdot q^{n-1})可知,
当(a_1 >0且q >1)或者(a_1 <0且0< q <1)时,(a_n)单调递增;
当(a_1 <0且q>1)或者(a_1 >0且0< q <1)时,(a_n)单调递减;
当(q=1)时为常数列,无单调性;
当(q <0)时为摆动数列,无单调性。
分析:由上述分析可知:(a_n=a_1cdot q^{n-1}),指数型函数,
它的变化取决于两个要素,(a_1)和(q),故选D。
A、充分不必要条件 (hspace{2cm}) B、必要不充分条件 (hspace{2cm}) C、充分必要条件 (hspace{2cm}) D、既不充分也不必要条件
分析:由(a_n=dn+(a_1-d))可知,选C。
分析:由(cfrac{a}{b}>1)两边平方,得到(cfrac{a^2}{b^2}>1),即(a^2>b^2),即得到(|a|>|b|),而由(|a|>|b|)不能得到(cfrac{a}{b}>1),
只要让(a=1,b=0),就能说明不能。故选(A).
法1:集合法,从形的角度,正面思考,考虑由(x和y)构成的点的集合,
这样问题就有了形的依托,(x eq 2 或y eq 4)表示平面内除过点((2,4))之外的部分,记为集合A;
(q:x+y eq 6)表示平面内除过直线(x+y=6)外的部分,记为集合B,
很显然有(Bsubseteq A),故填写“必要不充分”条件。
法2:从数的角度,正面思考,令(x=3,y=3),不能推出(x+y eq 6),
但是由(x+y eq 6)能推出(x eq 2 或y eq 4),
故填写“必要不充分”条件。
法3:等价转化,正难则反,由于原命题和其等价命题同真同假,
故只要判断(x+y=6)是(x=2且y=4)的()条件即可。由(x+y=6)不能推出(x=2且y=4),
但是由(x=2且y=4)能推出(x+y=6),故填写“必要不充分”条件。
-
(b=sqrt{ac}),是(a、b、c)成等比数列的既不充分也不必要条件;
-
(b=sqrt{ac}(ac>0)),是(a、b、c)成等比数列的充分不必要条件;
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(b=pm sqrt{ac}),是(a、b、c)成等比数列的必要不充分条件;
-
(b=pm sqrt{ac}(ac>0)),是(a、b、c)成等比数列的充分必要条件;
-
(a_{n+1}=2a_n(nin N^*))是(cfrac{a_{n+1}}{a_n}=2)(或者数列({a_n})为等比数列)的必要不充分条件。
- 零点存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件。
零点存在性定理要求函数在([a,b])上连续,满足(f(a)f(b)<0),
则在((a,b))内至少存在一个零点(x_0),使得(f(x_0)=0)成立。
为什么要求必须是连续函数,比如(y=cfrac{1}{x}),在([-1,1])内满足(f(-1)f(1)<0),
但是函数在([-1,1])上没有零点。
若函数在([a,b])上连续,不满足(f(a)f(b)<0),却不能说函数在((a,b))内没有零点,
此时有可能是不变号零点,比如函数(y=x^2),在([-1,1])上有(f(-1)f(1)>0),但是函数有零点(x=0)。
- 在某个区间内,对可导函数(f(x))而言,(f'(x)>0(f'(x)<0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。
说明不必要性,比如函数(y=x^3)在R上单调递增,但是却满足(f'(x)ge 0);
- 在某个区间内,对可导函数(f(x))而言,(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。
比如常函数(f(x)=c(c为常数)),满足(f'(x)ge0),但是没有单调性,故充分性不成立;
若函数(f(x))单调递增,则必有(f'(x)ge 0),故必要性成立。
- 在某个区间内,对可导函数(f(x))而言,“(f'(x)ge 0(f'(x)leq 0))且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数(f(x))在这个区间单调递增(减)的充要条件。
说明:在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零,就排除了函数为常函数的可能。
例如,命题(p)为真命题,(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0,+infty))上单调递减,求(m)的取值范围是________。
分析:由题目可知,
若(p)为真,则(1-2m>0),解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的单调性);
辨析:本题目利用函数(f(x))的单调性求参数的取值范围时,既可以利用单调性的性质,也可以利用导数法,但是导数法很容易出错。
导数法:由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0,+infty))上单调递减,则有
(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0,+infty))上恒成立,
即(2m-1leq 0),即(mleq cfrac{1}{2}),这个结果是错误的,
原因是缺少验证,当(m=cfrac{1}{2})时, 函数(f(x)=0)为常函数,
不符合题意,故舍去,即(m<cfrac{1}{2})。
- 在某个区间内,对函数(f(x))而言,(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的既不充分也不必要条件。
分析:比如函数(f(x)=x^3),在R上单调递增,无极值点,而(f'(x)=3x^2),(f'(0)=0),
但是很遗憾(x=0)不是极值点,应该是驻点和拐点,故充分性不成立;
若(x_0)为函数的极值点,也不能推出(f'(x_0)=0),因为函数的极值点有可能就不可导,
比如函数(f(x)=|x|),(x=0)是其极值点,但是函数在这一点(尖角点)并不可导。
- 在某个区间内,对可导函数(f(x))而言,(f'(x_0)=0)是(x_0)为极值点的必要不充分条件。
说明:此时由于函数是可导函数,就排除了函数在(x_0)处不可导的情形,
故(x_0)为函数的极值点,能推出(f'(x_0)=0),必要性成立。
解析:函数(f(x)=ax+3)在([-1,2])上存在零点等价于直线(f(x)=ax+3)在([-1,2])上与(x)轴有交点,
则(egin{cases}a>0\f(-1)=-a+3leq 0\f(2)=2a+3ge0end{cases})或(egin{cases}a<0\f(-1)=-a+3ge 0\f(2)=2a+3leq 0end{cases})
解得(a≥3)或(a≤-cfrac{3}{2})。
等价命题
:方程(ax+3=0)在区间([-1,2])上有解的充要条件是_______。
分析:题目这样变化后,求解过程和结果都和上述问题一样。
分析:比如常函数(f(x)=c)是周期函数,但是它没有最小正周期。
分析:将条件等价转化:存在负数(lambda),
使得(vec{m}=lambda vec{n}Leftrightarrow heta=180^{circ})"
将结论等价转化:(vec{m}cdot vec{n}<0Leftrightarrow hetain(90^{circ},180^{circ}]),
故此时能轻易判断选A。
分析:选B,先验证由后推前的命题,由于((x_0,y_0))为这一组数据的样本中心点,故其满足线性回归方程;
但当我们验证由前推后的命题时,此时并不一定知道,((x_0,y_0))为样本中心,故前不能推后,即为必要不充分条件。
这句话可以这样理解,样本中心一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的点不一定是样本中心,也可能是其他点。
分析:判断充分性,由题目可知,当存在集合(C),使得(Asubseteq C),(Bsubseteq C_UC)时,
必有(Acap B=varnothing)成立,故充分性成立;
再判断必要性,当(Acap B=varnothing)成立时,(U)为全集,(A、B)为集合,
只要令(A=C)即能说明,必然存在集合(C),使得(Asubseteq C),(Bsubseteq C_UC)成立,故必要性成立,
故选充要条件,C.
分析:充分性成立,原因"偶+偶=偶";必要性不成立,比如,(h(x)=e^x+e^{-x})为偶函数,
但是(f(x)=e^x)和(g(x)=e^{-x})都没有奇偶性;故选(A)。
"(a^2+b^2 > c^2)"是"(Delta ABC)是锐角(Delta)"的必要不充分条件;
"(a^2+b^2 < c^2)"是"(Delta ABC)是钝角(Delta)"的充分不必要条件。
"(a^2+b^2= c^2)"是"(Delta ABC)是(RtDelta)"的充分不必要条件。
分析:方程要表示为双曲线,等价于(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4>0}end{array} ight.)或者(left{egin{array}{l}{8+a<0}\{a-4<0}end{array} ight.)
解得(a<-8)或(a>4)。故其充要条件为(ain (-infty,8)cup(4,+infty))。
【引申】方程(cfrac{x^2}{8+a}-cfrac{y^2}{a-4}=1)表示椭圆的充要条件是________.
分析:先将方程变形为(cfrac{x^2}{8+a}+cfrac{y^2}{-(a-4)}=1),方程要表示为椭圆,
等价于(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4<0}\{8+a>-(4-a)}end{array} ight.),或(left{egin{array}{l}{8+a>0}\{a-4<0}\{8+a<-(4-a)}end{array} ight.),
解得(-8<a<-2)或(-2<a<4),故其表示椭圆的充要条件为(ain (-8,-2)cup (-2,4)).
补充:当(a=-2)时,方程表示圆;
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已知[仿二次]函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0)在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{a=b=0}\{cge 0}end{array} ight.)。
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已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.);
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已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta leq 0}end{array} ight.);
-
已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a> 0))在([m,n])上恒成立的充要条件的写法有两种形式:
其一是(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m<-cfrac{b}{2a}<n}\{f(-cfrac{b}{2a})ge 0}end{array} ight.);
其二是(Delta leq 0)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)
- 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a> 0))在([m,n])上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{f(m)leq 0}\{f(n)leq 0}end{array} ight.);
分析:函数有唯一零点,即(m=cfrac{3x^2-1}{2x^3}=g(x))有唯一解,
即函数(y=g(x))与(y=m)只有一个交点,
用导数求得单调性,做出函数的图像,由图像可知,
当(m>1)时,二者仅有一个交点,但仅有一个交点时,(m>1)或(m<-1) ,故得证。
分析:由(cos2 heta=cos^2 heta-sin^2 heta)可知,当(sin heta=cos heta)时,能推出(cos2 heta=0),故充分性成立;
但是当(cos2 heta=0)时,只能推出(cos^2 heta=sin^2 heta),并不能推出(sin heta=cos heta),故必要性不成立,
综上所述,选(A).
分析:由(cos heta=cfrac{sqrt{2}}{2}),得到(A={ hetamid heta=2kpipm cfrac{pi}{4}}),(kin Z),由(tan heta=1),得到(B={ hetamid heta=kpi+cfrac{pi}{4}}),(kin Z),
由于(A otsubseteq B),且(B otsubseteq A),故填写既不充分也不必要条件。
解后反思:解三角方程,需要用到三角函数线。
分析:当(a=1)时,则(f(x)=e^x-e^{-x}),由(f(-x)=-f(x)),则(f(x))是奇函数,即充分性成立;
若(f(x))为奇函数,恒有(f(-x)+f(x)=0),转化为((e^x+e^{-x})(cfrac{1}{a}-a)=0),解得(a=pm 1), 故必要性不成立,
填写:充分不必要。
分析:先化简命题(q),由圆心((0,0))到直线(y=kx+2)的距离为(1),即由(d=r)得到,(cfrac{|2|}{k^2+1}=1),解得(k=pm sqrt{3}),或者联立消元后的方程(x^2+(kx+2)^2=1)的(Delta=0),都可以得到(k=pm sqrt{3}),
法1:即(p:k=sqrt{3}),(q:k=pmsqrt{3}),故(pRightarrow q),但是(q otRightarrow p),故(p)是(q)的充分不必要条件,则( eg p)是( eg q)的必要不充分条件。故选(B).
法2:由上得到,( eg p:k eqsqrt{3}),( eg q:k eqpmsqrt{3}),故由集合的包含关系可知,( eg p otRightarrow eg q),但是( eg qRightarrow eg q),故( eg p)是( eg q)的必要不充分条件。故选(B).