定积分相关知识

前言

基础知识

• 1、定积分的由来：

分割，以曲化直，求和，取极限；

其中定积分的符号(displaystyleint)其实是求和符号(sum)中的首字母(s)的拉长写法；

• 2、定积分与面积的关系

• 3、定积分的运算法则

• 4、求解定积分的思路与途径：

①用公式求解定积分，即微积分基本定理；

如(displaystyleint_{1}^2;x^2;dx=cfrac{x^3}{3}Big|_{1}^2=cfrac{2^3-1^3}{3}=cfrac{7}{3})；

②利用面积求解定积分，数形结合求解；

练求值：如(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx)，

法1：由定积分的几何意义可知，由于(y=sqrt{1-x^2})表示的是(x)轴上方的单位圆，，所求的定积分等于半个单位圆的面积，

故(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=cfrac{pi}{2})，

求值(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx)，

法2：换元积分法，大学内容，备忘，不要求掌握

分析：令(x=sin heta)，则由(xin [-1，1])，则( hetain [-cfrac{pi}{2}，cfrac{pi}{2}])，

且(dx=dsin heta=cos heta d heta)，故有

(displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=displaystyleint_{-cfrac{pi}{2}}^{cfrac{pi}{2}} cos heta cdot cos heta d heta)

(=2displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cos^2 heta d heta=2displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cfrac{1+cos2 heta}{2} d heta)

(=displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} (1+cos2 heta) d heta= hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}+cfrac{1}{2}displaystyleint_{0}^{cfrac{pi}{2}} cos2 heta d2 heta)

(= hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}+cfrac{1}{2}sin2 hetaBig|_{0}^{cfrac{pi}{2}}=cfrac{pi}{2})；

③利用函数的奇偶性求解定积分；

比如(displaystyleint_{-pi}^{pi}; xcosx;dx=0)；注意函数(y=xcosx)为奇函数；

(displaystyleint_{-pi}^{pi}; x^2cosx;dx=2displaystyleint_{0}^{pi}; x^2cosx;dx)；注意函数(y=x^2cosx)为偶函数；

④综合运用以上方法求解定积分；

(int_{-1}^1;(x^2+x+sqrt{1-x^2});dx=displaystyleint_{-1}^1;(x^2+x);dx+displaystyleint_{-1}^1;sqrt{1-x^2};dx=cfrac{2}{3}+cfrac{pi}{2})；

• 5、常用的原函数与被积函数的关系：

①(displaystyleint_{a}^{b} Cdx=CxBig|_{a}^{b})((C)为常数)；

②(displaystyleint_{a}^{b} x^ndx=cfrac{1}{n+1}x^{n+1}Big|_{a}^{b})((n eq -1))；

③(displaystyleint_{a}^{b} sinxdx=-cosxBig|_{a}^{b})；

④(displaystyleint_{a}^{b} cosxdx=sinxBig|_{a}^{b})；

⑤(displaystyleint_{a}^{b} cfrac{1}{x}dx=lnxBig|_{a}^{b})((b>a>0))；

⑥(displaystyleint_{a}^{b} e^xdx=e^xBig|_{a}^{b})；

⑦(displaystyleint_{a}^{b} a^xdx=cfrac{a^x}{lna}Big|_{a}^{b})((a>0，a eq 1))；

⑧(displaystyleint_{a}^{b} sqrt{x}dx=cfrac{2}{3}x^{frac{3}{2}}Big|_{a}^{b})；

⑨(displaystyleint_{a}^{b} (b+kx)^{alpha}dx=cfrac{1}{k}cdot cfrac{(b+kx)^{alpha+1}}{alpha+1} e^xBig|_{a}^{b})；

⑩(displaystyleint_{a}^{b} e^{kx}dx=cfrac{1}{k}cdot e^{kx}Big|_{a}^{b})；

典例剖析

例1【2016宝鸡市质量检测一第15题】抛物线(y^2=x)与直线(x-2y-3=0)围成的平面图形的面积是_____________。

法1：以(x)为元积分，

(S=displaystyleint_{0}^{1} [sqrt{x}-(-sqrt{x})]\,dx+displaystyleint_{1}^{9} (sqrt{x}-cfrac{x}{2}+cfrac{3}{2})\,dx)

(=2cdotcfrac{2}{3}cdot x^{frac{3}{2}}Big|_0^1+cfrac{2}{3}cdot x^{frac{3}{2}}Big|_1^9+cfrac{3}{2}cdot xBig|_1^9-cfrac{1}{2}cdot cfrac{x^2}{2}Big|_1^9)

(=cfrac{32}{3})

法2：以(y)为元积分，

(S=displaystyleint_{-1}^{3}(2y+3-y^2);dy=cfrac{32}{3})

例2【用定积分求规则图形的面积】

如图所示，求梯形ABCD的面积。

法1：用梯形的面积公式可得，(S_{梯形ABCD}=cfrac{(2+8)}{2} imes 3=15)；

法2：用定积分求解面积，(S_{梯形ABCD}=displaystyleint_{1}^{4}2x;dx=2 imescfrac{x^2}{2}Big|_1^4=16-1=15)；

定积分可以求规则图形的面积，也可以求不规则图形的面积，这样我们能解决的问题的类型就更多了。

例3【定积分的结果实质上是个实数】【2014江西卷】(f(x)=x^2+2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx)，则(displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx)的值为多少？

分析：注意到表达式(int_{0}^{1}f(x)dx)应该是个实数，故两边同时取定积分得到

(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=displaystyleint_{0}^{1}x^2;dx+displaystyleint_{0}^{1}[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]dx)，

即就是(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=displaystyleint_{0}^{1}x^2;dx+[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]cdot displaystyleint_{0}^{1}1cdot dx)，

即(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{x^3}{3}Big|_0^1+[2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx]cdot xBig|_0^1)，

即(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=cfrac{1}{3}+2displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx)，

即(displaystyleint_{0}^{1}f(x);dx=-cfrac{1}{3}).

例3对照【函数的导数实质上也是实数】已知函数(f(x)=x^2+2f'(2)cdot x+1)，求函数的解析式(f(x)).

分析：给原式两边同时求导，可得(f'(x)=2x+2f'(2))，

再令(x=2)得到(f'(2)=4+2f'(2))，解得(f'(2)=-4)，可知(f(x)=x^2-8x+1)。

例4【利用定积分证明球体的体积公式】

求体积问题，也是定积分的一个重要应用，必然求简单旋转几何体的体积公式。

比如，(V=picdot displaystyleint_{a}^{b} f^2(x);;dx)

已知半径为(R)的球体可以看成是由曲线(y=sqrt{R^2-x^2})与(x)轴所围成的区域(半圆)绕(x)轴旋转一周得到的，求球体的体积公式。

(V_{球}=picdot displaystyleint_{-R}^{R}(R^2-x^2);dx)

(=picdot R^2cdot displaystyleint_{-R}^{R}1 dx-picdot displaystyleint_{-R}^{R}x^2;dx)

(=picdot R^2cdot xBig|_{-R}^{R}-picdot cfrac{x^3}{3}Big|_{-R}^{R})

(=2pi R^3-cfrac{2pi R^3}{3}=cfrac{4pi R^3}{3})。

例5【利用定积分比较大小】

若(s_1=displaystyleint_{1}^{2}x^2;dx)，(s_2=displaystyleint_{1}^{2}cfrac{1}{x};dx)，(s_3=displaystyleint_{1}^{2}e^x;dx)，则(S_1，S_2，S_3)的大小关系如何？

法1：从数的角度，计算定积分的大小，从而比较大小，过程略。(S_2<S_1<S_3)。

法2：从形的角度，利用定积分的几何意义，借助图形的面积直观比较大小。(S_2<S_1<S_3)。

例6【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在((ax+1)^6)的二项展开式中，若中间项的系数为(160)，则(int_{0}^a;(x+sqrt{4-x^2});dx)=___________.

分析：二项展开式的中间项为指数为3的项，由(C_6^3(ax)^3cdot 1^3=160x^3)，解得(a=2)，故求解如下的定积分，

(int_{0}^2;(x+sqrt{4-x^2});dx=cfrac{1}{2}x^2Big |_0^2+int_{0}^a;sqrt{4-x^2};dx=pi+2)

说明：(int_{0}^a;sqrt{4-x^2};dx=cfrac{1}{4} imes pi imes 2^2=pi)，利用其几何意义求解；