二次函数

前言

从初中的二次函数到高中的二次函数的学习，经历了从整体研究(xin R)到部分研究(xin [a，b])，从静态研究(xin [1，3])到动态研究(xin [t，t+2])的过程；

基础知识

• 1、参见各种高三复习的资料，暂略。

• 2、补充二次函数(y=ax^2+bx+c(a eq 0))为偶函数，则(b=0)；

二次函数(y=ax^2+bx+c(a eq 0))的值域若为([0，+infty))，则(a>0)且(Delta=0)；若值域为((-infty，0])，则(a<0)且(Delta=0)；

廓清认知

• 对二次函数的图像和性质的学习研究更细致了，比如二次函数(f(x)=ax^2+bx+c(a eq 0))，

一般来说初中研究的二次函数的定义域是默认的(R)，而高中研究定义域往往会变成(R)的一个子集，比如(xin [3，7])，或(xin[0，+infty))，

• 定义域变化，往往会引起函数的性质的变化，好多学生恰恰没有意识到这一点。

以配图为例，红色的是函数(y=2x^2-x-3，xin R)的图像，这时候函数的性质比较简单，比如有对称性，对称轴是(x=cfrac{1}{4})，没有单调性，此时只有最小值，

蓝色的是函数(y=x^2-5x+2，xin [1，5])的图像，此时定义域变成(R)的一个子集，这时候函数的性质就变得复杂了，此时没有了对称性，也没有单调性，但是有了最小值也有最大值。如果定义域变成(xin [3，5])，那么此时又有了单调性，且有最大值和最小值。

• 有些问题如果借助二次函数求解会变得简单， 比如利用图像确定二次方程的根的分布，如下例题。

如果方程(x^2+(m-1)x+m^2-2=0)的两个实根一个小于(-1)，另一个大于(1)，那么实数(m)的取值范围是(（qquad）)。

法1：如果你想到用求根公式表达出(x_1 < -1)，(x_2 >1)，这样的思维往往也没有错，但是思维的层次就有点低了，因为仅仅想到用数来表达，而没有想到借助形来简化运算，况且转化后得到的是无理不等式，求解过程本身就很复杂。

法2：我们一般利用其对应函数的图像来控制方程根的分布，所以设(f(x)=x^2+(m-1)x+m^2-2)，做出适合题意的函数(f(x))的大致图像，有图像可知，此时只须满足条件：(egin{cases} f(-1)<0 \ f(1)<0 end{cases})即可，下来解不等式就可以了。即求解(egin{cases}1-(m-1)+m^2-2<0 \ 1+(m-1)+m^2-2<0 end{cases})，

这样的二次不等式的求解应该比法1简单。

• 转化为二次函数求解，比如求函数(f(x)=x+sqrt{3x-2})的值域；

分析：令(sqrt{3x-2}=t(tge 0))，则(x=cfrac{t^2+2}{3})，那么原函数就变为(f(x)=x+sqrt{3x-2}=cfrac{t^2+2}{3}+t=g(t))，这样求原函数(f(x))的值域问题，就转化为了新的二次函数(g(t))的值域问题了，

重要性说明

为什么说掌握二次函数是高考成败的一个关键

1、90%的解不等式就是二次不等式，借助二次函数来完成，比如(x^2+3x+2>0)。

2、字母系数的二次不等式即含参不等式，比如解关于(x)的不等式(x^2+(a^2+a)x+a^3>0)。

3、涉及到分类讨论思想，数形结合思想，转化划归思想 比如定轴动区间，动轴定区间问题

已知二次函数(f(x)=ax^2+bx(a,bin R,a eq 0))，满足条件(f(x-1)=f(3-x))，且方程(f(x)=2x)有两个相等实数根，

(1)求(f(x))的解析式；

(2)求(f(x))在([0，t])上的最大值。

解析：(1)属于求解析式问题。由(f(x-1)=f(3-x))可知，函数(f(x))的对称轴为(-dfrac{b}{2a}=1)，又方程(ax^2+bx-2x=0)有两个相等实数根，故(Delta=(b-2)^2=0)，联立两式解得(a=-1,b=2)，则函数(f(x)=-x^2+2x);

(2)到此，问题转化为二次函数在动区间上的最值问题了，往往需要数形结合解决题目。(f(x)=-(x-1)^2+1)，对称轴是直线(x=1)，自变量(xin [0，t])，

当(0leq tleq 1)时，(f(x))在区间([0，t])上单调递增，故(f(x)_{max}=f(t)=-t^2+2t)；

当(t>1)时，(f(x))在区间([0，1])上单调递增，在区间([1，t])上单调递减，故(f(x)_{max}=f(1)=1)；

故(f(x)_{max}=egin{cases}-t^2+2t,&0leq tleq 1\1,&t>1 end{cases}).

4、用导数解决单调性问题，往往就成了解二次不等式。

已知函数(f(x)=cfrac{ax+b}{x}cdot e^x，a、bin R，a>0)，

(1).若函数(f(x))在(x=-1)处取到极值(cfrac{1}{e})，试求函数(f(x))的解析式和单调区间；

提示：(f'(x)=e^xcdot cfrac{ax^2+bx-b}{x^2})； (f'(-1)=0，f(-1)=cfrac{1}{e})，分别求得(a-2b=0)和(a-b=1)，联立求得(a=2，b=1)；则(f(x)=cfrac{2x+1}{x}cdot e^x)；

求解单调区间，实质就是解不等式(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0)和(f'(x)=cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0)，此时可以通过穿根法解分式不等式。((-infty，-1)和(cfrac{1}{2}，+infty))单调递增；((-1，0)和(0，cfrac{1}{2}))单调递减；

已知函数(f(x)=x^2+2mlnx-(m+4)x+lnm+2)．

（Ⅱ）当(m＞0)时，试讨论函数(f(x))的单调性；

解析：（Ⅱ）(f'(x)=2x+cfrac{2m}{x}-(m+4)=cfrac{2x^2-(m+4)x+2m}{x}=cfrac{(x-2)(2x-m)}{x})，

令(f'(x)=0)，得到(x=2)或(x=cfrac{m}{2}>0)，只需要借助分子函数的图像，即可判断导函数的正负，

当(0<cfrac{m}{2}<2)时，即(0<m<4)时，

(xin (0，cfrac{m}{2}))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (cfrac{m}{2}，2))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

(xin (2，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

当(cfrac{m}{2}=2)时，即(m=4)时，此时(f'(x)ge 0)恒成立，当且仅当(x=2)时取得等号，故(f(x))在((0，+infty))上单调递增，

当(cfrac{m}{2}>2)时，即(m>4)时， (xin (0，2))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

(xin (2，cfrac{m}{2}))时，(f'(x)<0)，(f(x))单调递减，

(xin (cfrac{m}{2}，+infty))时，(f'(x)>0)，(f(x))单调递增，

综上所述，当(0<m<4)时， (xin (0，cfrac{m}{2}))时，(f(x))单调递增， (xin (cfrac{m}{2}，2))时，(f(x))单调递减，(xin (2，+infty))时，(f(x))单调递增，

当(m=4)时，(f(x))在((0，+infty))上单调递增，

当(m>4)时， (xin (0，2))时，(f(x))单调递增， (xin (2，cfrac{m}{2}))时，(f(x))单调递减， (xin (cfrac{m}{2}，+infty))时，(f(x))单调递增。

【二次函数恒成立模型】

• 已知[仿二次]函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0)在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{a=b=0}\{cge 0}end{array} ight.)。

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a>0}\{Deltaleq 0}end{array} ight.)；

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a eq 0))在(R)上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{a<0}\{Delta leq 0}end{array} ight.)；

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cge 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件的写法有两种形式：

其一是(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{m<-cfrac{b}{2a}<n}\{f(-cfrac{b}{2a})ge 0}end{array} ight.)；

其二是(Delta leq 0)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}leq m}\{f(m)ge 0}end{array} ight.)或(left{egin{array}{l}{Delta>0}\{-cfrac{b}{2a}ge n}\{f(n)ge 0}end{array} ight.)

• 已知二次函数(f(x)=ax^2+bx+cleq 0(a> 0))在([m，n])上恒成立的充要条件是(left{egin{array}{l}{f(m)leq 0}\{f(n)leq 0}end{array} ight.)；

【2019届高三理科数学二次函数和幂函数课时作业第6题】已知函数(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，如果对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，则实数(a)的取值范围是_______。

【法1：二次函数在定区间上恒成立，分类标准为(Delta)+对称轴】

(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，对称轴为(2-a)，(Delta=4(a-2)^2-16=4(a^2-4a))，

由对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，可以分为以下几种，

①(Delta <0)或②(left{egin{array}{l}{Deltage 0}\{2-aleq -3}\{f(-3)>0}end{array} ight.)或③(left{egin{array}{l}{Deltage 0}\{2-age 1}\{f(1)>0}end{array} ight.)；

解①得到，(0<a<4)；

解②得到，(ain varnothing)；

解③得到，(-cfrac{1}{2}<aleq 0)；

综上所述，(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

【法2：二次函数在定区间上恒成立，分类标准仅仅为对称轴】

(f(x)=x^2+2(a-2)x+4)，对称轴为(2-a)，

由对(xin [-3，1])，(f(x)>0)恒成立，只需要(f(x)_{min}>0)即可；

针对对称轴和给定区间的位置关系可以分为以下几种，

①(left{egin{array}{l}{2-aleq -3}\{f(-3)>0}end{array} ight.)或②(left{egin{array}{l}{-3<2-a<1}\{f(2-a)>0}end{array} ight.)或③(left{egin{array}{l}{2-age 1}\{f(1)>0}end{array} ight.)；

解①得到，(ain varnothing)；

解②得到，(1<a<4)；

解③得到，(-cfrac{1}{2}<aleq 1)；

综上所述，(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

【法3：分离参数法+分类讨论】

转化为(2xa>-x^2+4x-4)在区间(xin [-3，1])上恒成立，

①当(x=0)时，(ain R)都成立；

②当(0<xleq 1)时，(a>cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-cfrac{x}{2}-cfrac{2}{x}+2=g(x))恒成立，

即(a>g(x)_{max})，用对勾函数可以求得当(0<xleq 1)时的(g(x)_{max}=g(1)=-cfrac{1}{2})；

故(a>-cfrac{1}{2})；

③当(-3leq x<0)时，(a<cfrac{-x^2+4x-4}{2x}=-cfrac{x}{2}-cfrac{2}{x}+2=g(x))恒成立，

即(a<g(x)_{min})，用对勾函数可以求得当(-3leq x<0)时的(g(x)_{min}=g(-2)=4)；

故(a<4)；

综上所述，以上情况取交集，得到(ain(-cfrac{1}{2}，4))。

解后反思：

①当针对参数分类讨论时，最后的结果必须求并集；当针对自变量分类讨论时，最后的结果必须求交集；

②整理出方法3只是为了说明这种方法也是可行的，但是碰到这类题目我们一般不采用方法3；其中本题目求解中省略了求函数(g(x))的两个最值的大量的篇幅。如果补充就等于我们一次做了2-3个题目，从效率上说很不划算。

例7已知二次函数(f(x))的二次项系数为(a)，且不等式(f(x)>0)的解集为((1,2))，若方程(f(x))的最大值小于(1)，则(a)的取值范围是_____________。

分析：由题可知，(a<0)，可设(f(x)=a(x-1)(x-2)=ax^2-3ax+2a)，

故(f(x)_{max}=f(cfrac{3}{2})=-cfrac{a}{4}<1)，解得(a>-4)，又(a<0)，故(ain (-4,0)).