2017全国卷1文科第9题高考真题的解法

例【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数(f(x)=lnx+ln(2-x))，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数(f(x))是复合函数，定义域要使(x>0，2-x>0)，即定义域是((0，2))，

又(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1])，则由复合函数的单调性法则可知，

在((0，1))上单增，在((1，2))上单减，故排除(A)，(B)；

若函数(y=f(x))关于点((1，0))对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)+f(2-x)=0)；

若函数(y=f(x))关于直线(x=1)对称，则函数(f(x))必然满足关系：(f(x)=f(2-x))；

接下来我们用上述的结论来验证，由于(f(x)=lnx+ln(2-x))，

(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx)，即满足(f(x)=f(2-x))，故函数(y=f(x))的图像关于直线(x=1)对称，选(C)；

再来验证(D)，发现(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)] eq 0)，(D)选项不满足。故选(C)。

例2【2018高三文科训练题】已知函数(f(x)=lg(4x-x^2))，则【】

$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增

$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称

分析：令内函数(g(x)=4x-x^2>0)，得到定义域((0，4))，又(g(x)=-(x-2)^2+4)，故内函数在((0，2])单减，在([2，4))单增，外函数只有单调递增，故复合函数(f(x))在((0，2])单减，在([2，4))单增，故排除(A)、(B)；

要验证(C)选项，只需要验证(f(x)=f(4-x))即可，这是(y=f(x))的图像关于直线(x=2)对称的充要条件；

而(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x))，故选(C)。

若要验证(D)选项，只需要利用(y=f(x))的图像关于点((2，0))对称的充要条件，即验证(f(x)+f(4-x)=0)即可。自行验证，不满足。

故本题目选(C).