新定义习题

前言

新定义习题，是高考命题人中的大学老师的最爱，能检测学生迅速理解数学概念的素养，几乎是高考必考的小题之一，她往往从大学数学中拿出个小概念，稍加改动就能用来考查学生了。也是学生感觉头疼的一类题目。

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

命题方向

• 函数类新定义

主要包括两类：

(1)概念型的新定义函数问题，主要以“新概念函数”为载体，利用新定义运算法则、新定义对应法则、新定义某种性质等方式给出“新概念函数”，此类新定义侧重函数的定义域与值域以及最值等有关的考查．

(2)性质型新定义函数多以函数的单调性、奇偶性、对称性、最值等作为命题的背景．

• 其他类型

比如数论知识等。

典例剖析

例1【2019届高三理科数学课时作业】设函数(y=f(x))的定义域为(D)，如果存在非零常数(T)，对于任意(xin D)，都有(f(x+T)=Tcdot f(x))，则称函数(y=f(x))为“似周期函数”，非零常数(T)为函数(y=f(x))的“似周期”。以下四个关于“似周期函数”的命题那些是真命题？①③④

①如果“似周期函数”的(T=1)，那么它是周期为2的周期函数；

②函数(f(x)=x)是“似周期函数”；

③函数(f(x)=2^{-x})是“似周期函数”；

④如果函数(f(x)=cosomega x)是“似周期函数”，那么(omega=kpi，kin Z).

分析：对于①，满足(f(x-1)=-f(x))，则可知(f(x))是周期函数，且周期(T=2)；故①是真命题；

对于②，(f(x+T)=x+T，Tcdot f(x)=Tx)，若是“似周期函数”，则必须满足(x+T=Tx)对任意的(xin R)要恒成立，显然不存在这样的非零常数(T)，故②是假命题；

对于③，(f(x+T)=(cfrac{1}{2})^{x+T})，(Tcdot f(x)=Tcdot(cfrac{1}{2})^x)，若是“似周期函数”，则必须满足((cfrac{1}{2})^{x+T}=Tcdot(cfrac{1}{2})^x)对任意的(xin R)要恒成立，只要存在非零实数(T)，使得((cfrac{1}{2})^T=T)成立就行，显然存在这样的非零常数(T)，故③是真命题；

对于④，(f(x+T)=cos(omega(x+T)))，(Tcdot f(x)=Tcdot cosomega x)，若是“似周期函数”，则必须满足(cos(omega x+omega T)=Tcdot cosomega x)，对任意的(xin R)要恒成立，故存在非零实数(T=pm 1)，(omega=kpi，kin Z)，故④是真命题；详细讲述：当(k)为偶数时，取(T=1)，成立；当(k)为奇数时，取(T=-1)，成立；课件地址

例2【2019届高三理科数学课时作业】把二进制数(10111_{(2)})转化为十进制数为________.

分析：十进制数(10111_{(10)}=1 imes 10^4+0 imes 10^3+1 imes 10^2+1 imes 10^1+1 imes 10^0=10111_{(10)})

二进制数转化为十进制数，我们只要依次累加各位数位上的数字( imes)该数位的权重即可得到结果。

比如(10111_{(2)}=1 imes 2^4+0 imes 2^3+1 imes 2^2+1 imes 2^1+1 imes 2^0=23_{(10)})，

则二进制数(1111_{(2)}=1 imes 2^3+1 imes 2^2+1 imes 2^1+1 imes 2^0=15_{(10)})，

补充题目：下图是一个将二进制数(1111_{(2)})转化为十进制数的程序框图，

(i=1)，(S=1+2 imes1=1 imes2^1+1=3)；

(i=2)，(S=1+2(1+2 imes1)=1 imes2^2+1 imes2^1+1=7)；

(i=3)，(S=1+2(1+2(1+2 imes1))=1 imes2^3+1 imes2^2+1 imes2^1+1=15)；

例3将十进制数23转化为二进制数。

分析：用短除法，除2取余数，倒过来读余数即可，比如(23=2 imes 11+1)；(11=2 imes 5+1)；(5=2 imes 2+1)；(2=2 imes 1+0)；(1=2 imes 0+1)；

将每次的余数倒过来读数就得到(23_{(10)}=10111_{(2)})；

例4把七进制数(1325_{(7)})转化为十进制数为________.

分析：(1325_{(7)}=1 imes7^3+3 imes7^2+2 imes7^1+5 imes7^0=509_{(10)})；

• 将十进制数509转化为七进制数。

分析：用短除法，除7取余数，倒过来读余数即可，比如(509=7 imes 72+5)；(72=7 imes 10+2)；(10=7 imes 1+3)；(1=7 imes 0+1)；

将每次的余数倒过来读数就得到(509_{(10)}=1325_{(7)})；

例5【2019届高三理科数学课时作业】若对于定义在(R)上的函数(f(x)),其图像是连续不断的，且存在常数(lambda)((lambda)(in R))，使得(f(x+lambda)+lambda f(x)=0)对任意实数(x)都成立，则称(f(x))是一个“(lambda—)伴随函数”，有下列关于“(lambda—)伴随函数”的结论：

①(f(x)=0)是常数函数中唯一一个“(lambda—)伴随函数”；

②(f(x)=x)不是“(lambda—)伴随函数”；

③(f(x)=x^2)是“(lambda—)伴随函数”；

④“(cfrac{1}{2}—)伴随函数”至少有一个零点。

其中不正确的序号是：①③.

分析：①设(f(x)=c(c eq 0，c为常数))，则由新定义可知(c+lambda c=0)当(lambda=-1)时，对任意实数(x)都成立，故常函数(f(x)=c(c eq 0，c为常数))就是“(lambda—)伴随函数”，当然函数(f(x)=0)也是“(lambda—)伴随函数”，故①错误；

②即要满足(x+lambda+lambda x=0)对任意实数(x)都成立，当(lambda=-1)时，并不能使得此式对对任意实数(x)都成立，故(f(x)=x)不是“(lambda—)伴随函数”，故②正确；

③即要满足((x+lambda)^2+lambda x^2=0)对任意实数(x)都成立，即((1+lambda)x^2+2lambda x+(lambda)^2=0)要对任意实数(x)都成立，此处最多有两个实数满足，对任意实数显然不成立，故③错；

④由题目知，(f(x+cfrac{1}{2})+cfrac{1}{2}f(x)=0)对任意实数(x)恒成立，令(x=-cfrac{1}{4})，则(f(cfrac{1}{4})+cfrac{1}{2}f(-cfrac{1}{4})=0)，此时若(f(cfrac{1}{4})、f(-cfrac{1}{4}))都为零，则满足题意；若二者都不为零，则(f(cfrac{1}{4})、f(-cfrac{1}{4}))必然符号相反，在区间((-cfrac{1}{4},cfrac{1}{4}))上至少有一个零点，故④正确。

例6【2019届高三理科数学课时作业】具有性质：(f(cfrac{1}{x})=-f(x))的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①(f(x)=x-cfrac{1}{x})；②(f(x)=x+cfrac{1}{x})；③(f(x)=egin{cases}x,&0<x<1\0,&x=1\-frac{1}{x},&x>1end{cases})，

其中满足“倒负”变换的函数是哪些？

分析：①对于(f(x)=x-cfrac{1}{x})而言，(f(cfrac{1}{x})=cfrac{1}{x}-x=-f(x))，故满足题意，

②对于(f(x)=x+cfrac{1}{x})而言，(f(cfrac{1}{x})=cfrac{1}{x}+x=f(x))，故不满足题意，

③对于分段函数(f(x)=egin{cases}x，&0<x<1\0，&x=1\-cfrac{1}{x}，&x>1end{cases})而言，需要分段处理。

当(0<x<1)时，(f(x)=x,f(cfrac{1}{x})=-cfrac{1}{cfrac{1}{x}}=-x)，则有(f(cfrac{1}{x})=-f(x))；

当(x=1)时，(f(x)=0,f(cfrac{1}{x})=0),则也有(f(cfrac{1}{x})=-f(x))；

当(x>1)时，(f(x)=-cfrac{1}{x},f(cfrac{1}{x})=cfrac{1}{x})，则也有(f(cfrac{1}{x})=-f(x))；

综上当(x>0)时，都有(f(cfrac{1}{x})=-f(x))；故函数满足“倒负”变换。

因此，本题中满足“倒负”变换的函数有①③。

例7【2017年宝鸡中学第一次月考】若函数(f(x))满足：“对于区间((1,2))上的任意实数(x_1，x_2(x_1 eq x_2))，(|f(x_2-x_1)|<|x_2-x_1|)恒成立”，就称函数(f(x))为完美函数，给出下列四个函数，其中是完美函数的是(①③)
① (f(x)=cfrac{1}{x})；② (f(x)=|x|)；③ (f(x)=x^2-3x)；④(f(x)=2^x)；
法1：利用定义求解，从数的角度
对①而言，(|f(x_2)-f(x_1)|=|cfrac{1}{x_2}-cfrac{1}{x_1}|=|cfrac{x_2-x_1}{x_1x_2}|<|x_2-x_1|)，故①是完美函数；
对②而言，(|f(x_2)-f(x_1)|=||x_2||-|x_1||=|x_2-x_1|<|x_2-x_1|)不成立，故②不是完美函数；
对③而言，(|f(x_2)-f(x_1)|=|(x_2)^2-3x_2-(x_1)^2+3x_1|=|(x_2-x_1)cdot(x_2+x_1)-3(x_2-x_1)|=|x_1+x_2-3|cdot|x_2-x_1|<|x_2-x_1|)，其中(|x_1+x_2-3|<1)；故③是完美函数；
对④而言，(|f(x_2)-f(x_1)|=|2^{x_2}-2^{x_1}|)，不妨设(x_1<x_2)，令(g(x)=2^x-x)，则(g'(x)=2^xln2-1>0)，由于(g'(x)_{min}=g'(1)=2ln2-1=ln4-1>0)，则函数(g(x))在((1，2))上单调递增，故有(2^{x_2}-x_2>2^{x_1}-x_1)，即(2^{x_2}-2^{x_1}>x_2-x_1)，即(|2^{x_2}-2^{x_1}|>|x_2-x_1|)，故④不是完美函数。

法2：利用导数的几何意义，从形上入手。由于(|f(x_2)-f(x_1)|<|x_2-x_1|)恒成立，即(|cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}|<1)，由于割线的斜率的极限是切线的斜率，故我们只有求解给定函数的导数的最大值或者最小值的绝对值小于1即可，

对①而言，由于(f'(x)=-cfrac{1}{x^2})，故(|f'(x)|<1)，故①是完美函数；

对②而言，由于(f'(x)=1)，不满足(|f'(x)|<1)，故②不是完美函数；

对③而言，由于(f'(x)=2x-3)，(|f'(x)|<1)，故③是完美函数；

对④而言，由于(f'(x)=2^xln2)，故不满足(|f'(x)|<1)，故④不是完美函数；

例8定义新运算"⊕"，当(age b)时，(a⊕b=a)；当(a<b)时，(a⊕b=b^2)；则函数(f(x))(=(1⊕x)x)(-(2⊕x))，(xin[-2，2])的最大值是多少？

分析：由题目知道(a⊕b=egin{cases}a,&age b\b^2,&a<b end{cases})，由此知道(1⊕x=egin{cases}1,&1ge x\x^2,&1<x end{cases})，又由于(xin[-2，2])

故得到(1⊕x=egin{cases}1,&-2leq xleq 1\x^2,&1<xleq 2 end{cases})，同理，(2⊕x=egin{cases}2,&2ge x\x^2,&2<x end{cases})，又由于(xin[-2，2])，故(2⊕x=2,xin [-2,2])，

故(f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x)=egin{cases}1cdot x-2&-2leq xleq 1\x^2cdot x-2&1<xleq 2 end{cases}=egin{cases}x-2&-2leq xleq 1\x^3-2&1<xleq 2 end{cases})，从而利用分段函数求得(f(x)_{max}=6)。

例9【2017(cdot)华南师大调研】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数(f(x)=egin{cases}1，xin Q\0，xin C_RQend{cases})称为狄利克雷函数，关于函数(f(x))有以下的四个命题，哪些是真命题？

①(f(f(x))=1)；

②函数(f(x))是偶函数；

③任意一个非零有理数(T)，对(forall xin R)都有(f(x+T)=f(x))恒成立；

④存在三个点(A(x_1，f(x_1)))，(B(x_2，f(x_2)))，(C(x_3，f(x_3)))，使得(Delta ABC)为等边三角形。

分析：由于狄利克雷函数是个分段函数，所以凡是涉及求值的问题，一般都得分类讨论。

①当(xin Q)时，(f(x)=1)，则(f(f(x))=f(1)=1)；

当(xin C_RQ)时，(f(x)=0)，则(f(f(x))=f(0)=1)；故真命题。

②当(xin Q)时，则(-xin Q)时，(f(-x)=1)，则(f(x)=1)，有(f(-x)=f(x))成立；

当(xin C_RQ)时，则(-xin C_RQ)时，(f(-x)=0)，则(f(x)=0)，有(f(-x)=f(x))成立；

故(f(-x)=f(x))恒成立，是偶函数，真命题。

③当(xin Q)时，对任意一个非零有理数(T)，都有(x+Tin Q)时，(f(x+T)=1)，(f(x)=1)，有(f(x+T)=f(x))成立；

当(xin C_RQ)时，对任意一个非零有理数(T)，都有(x+Tin C_RQ)时，(f(x+T)=0)，(f(x)=0)，有(f(x+T)=f(x))成立；真命题；

④如图所示，取(A(2-sqrt{a}，0))，(B(2+sqrt{a}，0))，(C(2，1))，则此时(Delta ABC)只是等腰三角形，

但是当点(A、B)都向其中点聚拢时，由实数的无限稠密性，总有一个恰当的(a)值，

使得(Delta ABC)为等边三角形。真命题；

或这样求解，点(A(-cfrac{sqrt{3}}{3}，0))，点(B(cfrac{sqrt{3}}{3}，0))，点(C(0，1))，

计算可知，(Delta ABC)为边长为(cfrac{2sqrt{3}}{3})的等边三角形，真命题。

例10若函数(f(x))对其定义域内的任意(x_1，x_2)，当(f(x_1)=f(x_2))时总有(x_1=x_2)，则称(f(x))为紧密函数，例如函数(f(x)=lnx(x＞0))是紧密函数，下列命题：

①紧密函数必是单调函数；②函数(f(x)=cfrac{x^2+2x+a}{x}(x＞0))在(a＜0)时是紧密函数；

③函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log_2x，x≥2}\{2-x，x＜2}end{array} ight.)是紧密函数；

④若函数(f(x))为定义域内的紧密函数，(x_1≠x_2)，则(f（x_1）≠f（x_2）)；

⑤若函数(f(x))是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数(f′(x))在定义域内的值一定不为零．

其中的真命题是【】

$A.②④$ $B.①②$ $C.②④⑤$ $D.①②③⑤$

【分析】新定义习题，充分理解给定的新定义，再结合映射的概念，就容易理解了。具体解答详见下述解答。

【解答】

对于选项①而言，由于函数(f(x))对其定义域内的任意(x_1，x_2)，当(f(x_1)=f(x_2))时总有(x_1=x_2)，则称(f(x))为紧密函数，
则紧密函数(f(x))的自变量与函数值是一 一映射，故单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，比如函数(y=frac{1}{x})，是按照定义判断是紧密函数，但是其不是单调函数，故①错误；
对于选项②而言，函数(f(x)=frac{x^2+2x+a}{x}（x>0）)在(a<0)时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确；
对于选项③而言，函数(f(x)=left{egin{array}{l}{log3x，x≥2}\{2-x，x<2}end{array} ight.)不是一 一映射，故不是紧密函数，故③错误；
对于选项④而言，若函数(f(x))为定义域内的紧密函数，由一一映射可知，若(x_1≠x_2)，则(f(x_1)≠f(x_2))，故④正确；
对于选项⑤而言，函数(f(x)=x^3)是紧密函数且在定义域内存在导数，但是其导函数(f′(x)=3x^2)在定义域内的(x=0)处的值为零，故⑤错误；
综上所述，真命题为②④，故选选项A。

【点评】新定义习题，是最能考查学生的数学素养的一类素材，对许多学生都有一定的难度。在学习是，对于学习过的一些简单而又特殊的函数，我们需要特别加以关注，如函数(y=|x|)，在(x=0)处无导数，但是在(x=0)处却是有极值的；函数(y=frac{1}{x})，在定义域内无单调性，函数(y=x^3)在定义域内单调递增，其导函数(y'=3x^2ge 0)，等等，都是需要我们注意的，这对于深入理解数学概念，廓清我们的混沌认识很有帮助。

例11已知定义域为([0，1])的函数(f（x）)同时满足以下三个条件：
①对任意的(x∈[0，1])，总有(f（x）≥0)；
②(f（1）=1)；
③若(x_1≥0)，(x_2≥0)且(x_1+x_2≤1)，则有(f(x_1+x_2)≥f(x_1)+f(x_2))成立，则称(f(x))为“友谊函数”．

（1）若已知(f(x))为“友谊函数”，求(f(0))的值．

（2）分别判断函数(g(x)=x^2)与(h(x)=3x+1)在区间([0，1])上是否为“友谊函数”，并给出理由．

（3）已知(f(x))为“友谊函数”，且(0≤x_1＜x_2≤1)，求证：(f(x_1)≤f(x_2))．

【分析】

（1）围绕给定的新定义“友谊函数”，结合赋值和夹逼原则，求得(f(0))的值。

（2）对给定的两个具体函数，用“友谊函数”的三条要求逐一验证即可。

（3）将(x_2)拆分为(x_2-x_1+x_1)，且结合(f(x_2-x_1)ge 0)，就可以证明。

【解答】

（1）已知(f(x))为“友谊函数”，则当(x_1ge 0，x_2ge 0)且(x_1+x_2leq 1)，有(f(x_1+x_2)≥f(x_1)+f(x_2))成立，

令(x_1=0，x_2=0)，则有(f(0+0)ge f(0)+f(0))，解得(f(0)leq 0)，

又对任意的(x∈[0，1])，总有(f（x）≥0)，则有(f(0)ge 0)，

由(f(0)ge 0)且(f(0)leq 0)，得到(f(0)=0).

（2）对函数(g(x)=x^2)而言，在([0，1])上显然满足①(g(x)ge 0)，②(g(1)=1)，重点是验证③，

若(x_1≥0)，(x_2≥0)且(x_1+x_2≤1)，则有(g(x_1+x_2)-[g(x_1)+g(x_2)]=(x_1+x_2)^2-x_1^2-x_2^2=2x_1x_2ge0)

即(g(x_1+x_2)ge g(x_1)+g(x_2))，故函数(g(x))满足条件③；

这样函数(g(x))同时满足条件①②③，故(g(x)=x^2)为友谊函数。

对函数(h(x)=3x+1)而言，在([0，1])上显然满足①(g(x)ge 0)，

但是当(x=1)时，(h(1)=4)，不满足定义中的②，故函数(h(x)=3x+1)不是友谊函数。

（3）证明：由于(0≤x_1＜x_2≤1)，则有(0<x_2-x_1<1)，

又由于函数(f（x）)为“友谊函数”，则$f(x_2-x_1)ge 0 $

则(f(x_2)=f(x_2-x_1+x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1] ge f(x_1))，

即(f(x_1)leq f(x_2))。

【点评】

（1）新定义题目，考查学生对数学概念的快速理解和应用能力，对学生的数学素养要求比较高。

（2）考查学生对新定义的应用能力，用来判断一个函数是否同时满足三个条件。

（3）充分运用给定的条件和已有的知识储备，证明一个新的结论，也算是对新数学概念的拓展，对学生的素养要求比较高。

例12【2019届高三理科数学函数及其表示课时作业第8题】

若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”。则函数解析式为(y=x^2+1)，值域为({1，3})的同族函数有_____个。

分析：本题目实质是考查有几种不同的满足题意定义域形式，

令(x^2+1=1)，解得(x=0)；令(x^2+1=3)，解得(x=pm sqrt{2})；

要保证值域为({1，3})，则(0)是必选的，(pm sqrt{2})可以二选一，或者全选，

故不同的定义域形式有({0，sqrt{2}})，({0，-sqrt{2}})，({0，pmsqrt{2}})三种，

故函数解析式为(y=x^2+1)，值域为({1，3})的同族函数有(3)个。

例13【2019届高三理科数学资料题目】对于函数(f(x))，若存在区间(A＝[m，n])，使得({ymid y＝f(x)，x∈A}＝A)，则称函数(f(x))为“同域函数”，区间(A)为函数(f(x))的一个“同域区间”．

给出下列四个函数：

①(f(x)＝coscfrac{pi}{2}x)；②(f(x)＝x^2-1)；③(f(x)＝|x^2－1|)；④(f(x)＝log_2(x－1))；

存在“同域区间”的“同域函数”的是________．(请写出所有正确的序号)

分析：区间(A)不一定是定义域或值域，但一定是定义域的子集。

故我们可以借助图像来解答此问题，如下图所示：

①中，取(A=[0，1])，则(xin [0，1])，(f(x)in [0，1])，故是同域函数；

②中，取(A=[-1，0])，则(xin [-1，0])，(f(x)in [-1，0])，故是同域函数；

③中，取(A=[0，1])，则(xin [0，1])，(f(x)in [0，1])，故是同域函数；

④中不存在这样的区间(A)，故不是同域函数；

下面加以证明，对④而言，设存在这样的区间(A=[m，n])，由于(f(x)＝log_2(x－1))，

定义域为((1，+infty))，且单调递增，

故有(f(m)=m)，且有(f(n)=n)，

即(log_2(m-1)=m)，且(log_2(n-1)=n)，

即(left{egin{array}{l}{2^m=m-1}\{2^n=n-1}end{array} ight.)，

若该方程组有解，则方程(2^x=x-1)应该有两个不同的实数解，

分别做出函数(y=2^x)和函数(y=x-1)的图像，显然两个图像没有公共点，

故不存在这样的区间(A)，满足题意。

故满足题意的有①②③；

例14【2019高三理科数学第二次月考跟踪训练第12题】【2018南昌检测】

若函数(f(x))满足(f(a+x)+f(a-x)=2b)，其中(a，b)不同时为零，则称函数(y=f(x))为“准奇函数”，称点((a，b))为函数(f(x))的中心点。现有如下命题：

①函数(f(x)=sinx+1)为准奇函数；

②若准奇函数(y=f(x))在(R)上的"中心点"为((a，f(a)))，则函数(F(x)=f(x+a)-f(a))为(R)上的奇函数；

③已知函数(f(x)=x^3-3x^2+6x-2)是准奇函数，则它的“中心点”为((1，2))；

其中正确的命题是_________。①②③

分析：

对①而言，由于(f(pi+x)+f(pi-x)=sin(pi+x)+1+sin(pi-x)+1=-sinx+1+sinx+1=2)，

故(f(x))是准奇函数，且中心点为((pi，1))。故①正确；

对②而言，由于准奇函数(y=f(x))在(R)上的"中心点"为((a，f(a)))，

则有(f(a+x)+f(a-x)=2f(a))，

故(F(-x)+F(x)=f(-x+a)-f(a)+f(x+a)-f(a)=2f(a)-2f(a)=0)，故(F(x))为(R)上的奇函数；故②正确；

③函数(f(x)=x^3-3x^2+6x-2)，则(f(1+x)=(1+x)^3-3(1+x)^2+6(1+x)-2)，

则(f(1-x)=(1-x)^3-3(1-x)^2+6(1-x)-2)，这样得到，

(f(1+x)+f(1-x)=4=2 imes 2)，故函数(f(x))是准奇函数，且它的“中心点”为((1，2))；故③正确；

例15【新定义题目】【2019届高三理科数学课时作业】定义(cfrac{n}{p_1+p_2+cdots+p_n})为(n)个正数(p_1，p_2，cdots，p_n)的“均倒数”。若已知正项数列({a_n})的前(n)项和的“均倒数”为(cfrac{1}{2n+1})，又(b_n=cfrac{a_n+1}{4})，则(cfrac{1}{b_1b_2})(+cfrac{1}{b_2b_3})(+cfrac{1}{b_3b_4}+)$cdots $$+cfrac{1}{b_{10}b_{11}}$=【】

$A.cfrac{1}{11}$ $B.cfrac{1}{12}$ $C.cfrac{10}{11}$ $D.cfrac{11}{12}$

分析：由新定义可知，(cfrac{n}{a_1+a_2+cdots+a_n}=cfrac{1}{2n+1})，

则由上式得到，(S_n=n(2n+1))，又由(a_n)与(S_n)的关系可知，

当(ngeqslant 2)时，(S_{n-1}=(n-1)[2(n-1)+1])，则(a_n=S_n-S_{n-1}=4n-1)；

再验证(n=1)时，(a_1=1(2 imes 1+1)=3=4 imes 1-1)，满足上式，

故(a_n=4n-1(nin N^*))，

则结合题目可知，故(b_n=cfrac{a_n+1}{4}=cfrac{4n-1+1}{4}=n)，

则(cfrac{1}{b_1b_2}+cfrac{1}{b_2b_3}+cfrac{1}{b_3b_4}+cdots+cfrac{1}{b_{10}b_{11}})

(=[(1-cfrac{1}{2})+(cfrac{1}{2}-cfrac{1}{3})+cdots+(cfrac{1}{10}-cfrac{1}{11})]=cfrac{10}{11})，

故选(C)。

例16【2019届高三理科数学二轮复习用题】若数列({a_n})满足：对任意的(nin N^*)且(nge 3)，总存在(i，jin N^*)，使得(a_n=a_i+a_j)，(i eq j，i<n，j<n)，则称数列({a_n})为"(T)数列"，现有以下四个数列：①({2n})，②({n^2})，③({3^n})，④({(cfrac{sqrt{5}-1}{2})^{n-1}})，其中是"(T)数列"的有【】个

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

分析：本题目主要考查对数列的拆分，必须按照题目的要求进行有效的拆分；

对于①而言，(a_n=2n)，则 (a_{n+2}=2(n+2)=2[(n+1)+1]=2(n+1)+2 imes 1=a_{n+1}+a_1)，故(a_n=2n)为"(T)数列"；

对于②而言，(a_n=n^2)，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当(n，i，j)依次取值为(3，2，1)时，(a_1=1^2)，(a_2=2^2)，(a_3=3^2)，并不满足(a_n=a_i+a_j)，都(a_n=n^2)不是"(T)数列"；

对于③而言，(a_n=3^n)，我们可以考虑让其下标满足的最小的情形，故做这样的尝试，当(n，i，j)依次取值为(3，2，1)时，(a_1=3^1)，(a_2=3^2)，(a_3=3^3)，并不满足(a_n=a_i+a_j)，都(a_n=3^n)不是"(T)数列"；

对于④而言，(a_n=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1})，则(a_{n+2}-a_n=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n+1}-(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1}=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1}[(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{2}-1])

(=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1}cfrac{1-sqrt{5}}{2}=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n}=a_{n+1})，

即(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n)，故数列(a_n=(cfrac{1-sqrt{5}}{2})^{n-1})为"(T)数列"；

综上所述，满足"(T)数列"的有2个，故选(C).

例17【2019届高三理科数学三轮模拟训练用题】2018年8月10日至12日，第八届全国数学文化论坛学术会议在山东大学(威海)顺利召开，深圳大学张文俊教授在大会上做了题为《斐波那契数列中的文化元素》的报告，斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，(cdots)，下图给出了斐波那契数列({a_n})的一条性质，无需文字的证明，则(a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_{12}^2)= 【】

$A.4895$ $B.12816$ $C.33552$ $D.87841$

分析：斐波那契数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，(cdots)，由所给的图形可知，

(1^2+1^2+2^2)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为((1+2))和(2)，其值为((1+2) imes 2)

(1^2+1^2+2^2+3^2)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为((2+3))和(3)，其值为((2+3) imes 3)

(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2)时的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为((3+5))和(5)，其值为((3+5) imes 5)

故(a_1^2+a_2^2+a_3^2+cdots+a_{12}^2)的结果对应的形为矩形的面积，矩形的长和宽分别为((a_{11}+a_{12}))和(a_{12})，其值为((89+144) imes 144=33552)，故选(C)。

例18【2019届高三理科数学三轮模拟训练用题】定义：椭圆(cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))中长度为整数的焦点弦(过焦点的弦)为“好弦”，则椭圆(cfrac{x^2}{25}+cfrac{y^2}{9}=1)的所有“好弦”的长度为【】

$A.162$ $B.166$ $C.312$ $D.364$

分析：椭圆(cfrac{x^2}{25}+cfrac{y^2}{9}=1)中的最短弦长为通经，最长的弦长为长轴的长，容易计算得到通经长为(cfrac{18}{5}=3.6)，则椭圆的弦从最短的弦变化为最长的弦的过程中，得到的好弦的长度分别为(4)，(5)，(6)，(7)，(8)，(9)，(10)，

而且由于椭圆关于(x)轴对称，故有两组，又由于焦点有两个，故还有两组，故共有四组，其和为((4+5+6) (+7+8+9+) (10) imes 4) (=196)，但是上述的计算过程中将最长的好弦(即长轴)多计算了3次，故所求为(196-30=166)，故选(B)。

例19【2019届高三理科数学三轮模拟训练用题】

有空，待补充。

例20【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第12题】在平面直角坐标系中的(A、B)两点满足：①点(A、B)都在函数(f(x))上；②点(A、B)关于原点对称，则称点((A，B))是函数(f(x))的一个“姊妹点对”。点((A，B))和点((B，A))可以看作同一个“姊妹点对”，已知函数(f(x)=egin{cases}x^2+2x，&x<0\cfrac{2}{e^x}，&xge 0end{cases})，则函数(f(x))的“姊妹点对”有【】

$A.0$ $B.1$ $C.2$ $D.3$

分析：当我们做出函数的整体图像后，应该想到新定义就是问我们：分段函数的一段上有几个点和分段函数另一段上的点是关于原点对称的。

本题目考查思维之处在于，你能否想到将一个分段函数的两段图像上的点关于原点的对称问题，

转化为其一段图像如(y=cfrac{2}{e^x}(x>0))和另一段图像(y=x^2+2x(xleq 0))关于原点对称的图像(y=-x^2+2x(x>0))的交点个数问题。另一个考查之处就是手工作图像的能力。

做出适合题意的图像，由图像可知“姊妹点对”有2个，故选C。

反思总结：1、新定义的理解及运用，作函数的图像，转化划归，数形结合；2、新定义题目考查学生快速理解和简单运用数学概念的素养；3、题目的转化划归能力的考查。

例21定义：如果在(y=f(x))定义域内的给定区间([a,b])上存在(x_0(a<x_0<b))，满足(f(x_0)=cfrac{f(b)-f(a)}{b-a})，则称函数(y=f(x))是([a,b])上的“平均值函数”，(x_0)是它的一个均值点，如(y=x^4)是([-1,1])上的平均值函数，(0)是它的均值点，现有函数(f(x)=-x^2+mx+1)是([-1,1])上的平均值函数，则实数(m)的取值范围是________________。

分析：由题意可知，存在(x_0in (-1,1))，使得(f(x_0)=cfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)})，

化简得到，(f(x_0)=m)有解，即(-x_0^2+mx_0+1=m)，

即((x_0-1)m=x_0^2-1)，由于(x_0-1 eq 0)，故转化为(m=x_0+1)在(x_0in(-1,1))上有解，

即需要求函数(y=x_0+1)的值域，而(x_0+1in (0,2))，故(min (0,2)).

例22【2019郑州质检】若函数(f(x))存在(n-1(nin N^*))个极值点，则称函数(f(x))为(n)折函数，例如函数(f(x)=x^2)为(2)折函数，已知函数(f(x)=(x+1)e^x-x(x+2)^2)，则(f(x))为【】折函数；

$A.2$ $B.3$ $C.4$ $D.5$

分析：(f'(x)=(x+2)e^x-(x+2)(3x+2)=(x+2)(e^x-3x-2))，

令(f'(x)=0)，则得到(x=-2)或(e^x=3x+2)

易知(x=-2)为其一个极值点，又(e^x=3x+2)

结合图像可知，(y=e^x)和(y=3x+2)有两个交点，

[还需要验证](e^{-2} eq 3 imes (-2)+3=-4)，

故函数(f(x))有三个极值点，即函数为(4)折函数，故选(C)。

例23【2020学生问题】【新定义问题】设非空集合(A)为实数集的子集，若(A)满足下列两个条件：

(1).(0in A)，(1in A)；

(2).对任意(x,yin A)，(x+yin A)，(x-yin A)，(xyin A)，(cfrac{x}{y}in A(y eq 0))，则称(A)为一个数域，那么命题：

①有理数集(Q)是一个数域；

②若(A)为一个数域，则(Qsubseteq A)；

③若(A)，(B)都是数域，则(Acap B)也是一个数域；

④若(A)，(B)都是数域，则(Acup B)也是一个数域；

其中真命题的序号为___________。

初次理解如下：比如整数集(Z)就不是一个数域，整数集(Z)满足(0in Z)，(1in Z)；但是不满足条件二，比如(1in Z)，(2in Z)，但是(cfrac{1}{2} otin Z)，故整数集(Z)不是一个数域；同理，自然数集(N)不是数域[同理(cfrac{1}{2} otin N)，]，无理数集(C_RQ)不是数域[比如(cfrac{sqrt{2}}{sqrt{2}}=1 otin C_RQ)]；

详细分析如下：

对于①而言，有理数集(Q)显然满足条件一，对于任意两个有理数，其四则运算的结果一定是有理数，则满足条件二，故有理数集(Q)是一个数域；即①正确；且有理数集(Q)是最小的数域；

对于②而言，理解了有理数集(Q)是最小的数域，则容易知道②正确；

[解释：由于(A)为数域，则(0in A)，(1in A)，则对任意正整数(min Z^+)，必然有(m=1+1+1+cdots in A)，进而能得到整数集；继而对(forall m，nin z^+)，(mpm nin A)，(mnin Q)，(pm cfrac{m}{n}in A)，显然后半部分构成了分数集；而任意一个有理数可表成两个整数的商，故(Qin A)]

对于③而言，正确，令(C=Acap B)，则由(A)，(B)都是数域，则(0,1in A)且(0,1in B)，故(0,1in C)；又由于对任意(x,yin A)，对任意(x,yin B)，则一定有(x+yin A)，(x-yin A)，(xyin A)，(cfrac{x}{y}in A(y eq 0))且一定有(x+yin B)，(x-yin B)，(xyin B)，(cfrac{x}{y}in B(y eq 0))，故必然有(x+yin C)，(x-yin C)，(xyin C)，(cfrac{x}{y}in C(y eq 0))，即(C)满足条件一和二，故(C)是数域，也就是(Acap B)是数域，故③正确；

对于④而言，我们前面说明无理数集不能构成数域，但是形如(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)})的无理数集合却是可以构成数域的，说明如下：

令(a=b=0)，则(0in M)，令(a=1，b=0)，则(1in M)，故满足条件一；

任取集合(M)中的两个数(a_1+sqrt{2}b_1(a_1,b_1in Q))和(a_2+sqrt{2}b_2(a_2,b_2in Q))，

容易说明他们的和与差((a_1pm a_2)+(b_1pm b_2)sqrt{2}in M)，

其乘积((a_1+sqrt{2}b_1)(a_2+sqrt{2}b_2)=cdots=(a_1a_2+2b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)sqrt{2}in M)，

其商(说明一个即可)(cfrac{a_1+sqrt{2}b_1}{a_2+sqrt{2}b_2}=cfrac{(a_1+sqrt{2}b_1)(a_2-sqrt{2}b_2)}{(a_2+sqrt{2}b_2)(a_2-sqrt{2}b_2)}=cfrac{(a_1a_2-2b_1b_2)+(-a_1b_2+a_2b_1)sqrt{2}}{a_2^2-2b_2^2}in M)

即集合(M)满足条件二；综上所述，形如(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)})的无理数集合可以构成数域，

为了说明④错误，我们取(M={a+sqrt{2}b (a,bin Q)})，(N={a+sqrt{3}b (a,bin Q)})，

此时容易说明(1+sqrt{2})和(1+sqrt{3})的和(2+sqrt{2}+sqrt{3})并不在其并集(Mcup N)中，

故若(A)，(B)都是数域，则(Acup B)却不一定是数域；故④错误；

综上所述，正确命题的序号为①②③；

例1【2020陕西省高三数学质量检测二文科第5题】“二进制”来源于我国古代的《易经》，该书中有两类最基本的符号“➖”和“➖➖”，其中“➖”在二进制中记作“1”，其中“➖➖”在二进制中记作“0”.例如二进制数(1011_{(2)}=1 imes 2^3+0 imes 2^2+1 imes 2^1+1 imes 2^0=11_{(10)})，若从两类符号中任取(2)个符号进行排列，则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为【】

$A.0$ $B.cfrac{1}{2}$ $C.cfrac{1}{3}$ $D.cfrac{1}{4}$

分析：从两类符号对应的数字(0)和(1)中任取(2)个数字[包含两个数字相同和两个数字不相同两种情形]进行排列，

共有4种情形，列举如下，(00_{(2)})、(01_{(2)})、(10_{(2)})、(11_{(2)})；

其中(00_{(2)}=0 imes 2^1+0 imes 2^0=0_{(10)})；(01_{(2)}=0 imes 2^1+1 imes 2^0=1_{(10)})；

(10_{(2)}=1 imes 2^1+0 imes 2^0=2_{(10)})；(11_{(2)}=1 imes 2^1+1 imes 2^0=3_{(10)})；

得到的二进制数所对应的十进制数大于(2)的为(11_{(2)})，故所求概率为(P=cfrac{1}{4})；故选(D);

例1【2020陕西省高三数学质量检测二文科第11题】定义(N{f(x)otimes g(x)})表示(f(x)<g(x))的解集中的整数解的个数.若(f(x)=|log_2x|)，(g(x)=a(x-1)^2+2)，(N{f(x)otimes g(x)}=1)，则实数(a)的取值范围是【】

$A.(-3,-1]$ $B.(-infty,-1]$ $C.(-infty,-2]$ $D.[-1,0)$

分析：由题目可知，(N{f(x)otimes g(x)}=1)要求(f(x)<g(x))的解集中的整数解的个数为(1)，

当(ageqslant 0)时显然不符合题意，

当(a<0)时，由图像可知，要满足题意，只需要(g(2)leqslant f(2))，

即(a(2-1)^2+2leqslant 1=log_22)，解得(aleqslant -1)，故选(B).