常用逻辑用语习题

前言

典例剖析

已知命题：(p：x eq 2)或(y eq 3)，命题：(q：x+y eq 5)，则(;p)是(;q)的什么条件？(q)是(p)的什么条件？

法1，可以做出条件和结论的可行域，利用集合的关系来判断，但是这个方法比较难。

由题目可知，(;p：x eq 2)或(y eq 3)，对应图中的除过点((2,3))之外的区域(A)；

(;q：x+y eq 5)，对应坐标系中不在直线上的区域(B)；

显然区域(A)包含区域(B)，故(;p)是(;q)的必要不充分条件，(;q)是(;p)的充分不必要条件。

法2：利用等价命题和不等式性质求解。

命题：( eg;q：x+y=5)，命题：( eg;p：x=2)且(y=3)，则有( eg;q otRightarrow eg; p， eg; p Rightarrow eg; q)

故( eg; q)是( eg; p)的必要不充分条件，( eg; p)是( eg; q)的充分不必要条件。

由等价命题可知，(;p)是(;q)的必要不充分条件，(;q)是(;p)的充分不必要条件。

【2016宝鸡市三检№3】设(A)，(B)是两个同高的几何体，(p：A，B)的体积不相等，(q：A，B)在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理“幂势既同，则积不容异”，可知(p)是(q)的【】条件。

预备知识：我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．

分析：大前提：(A，B)是两个同高的几何体，( eg;q：A，B)在等高处的截面积恒相等，( eg;p：A，B)的体积相等，则由祖暅原理可知，( eg; q Rightarrow eg; p)，但是( eg; p otRightarrow eg; q)，比如两个相同的圆锥体，一正一倒夹在两个平行平面之间，很明显等高处的截面积不恒相等。故( eg; q)是( eg; p)的充分不必要条件，即(p)是(q)的(underline{充分不必要})条件。

下面四个条件中，使得(a>b)成立的充分不必要条件是【】

$A.a > b+1$ $B.a > b-1$ $C.a^2 > b^2$ $D.a^3 > b^3$

分析：由于题干(a>b)等价于(a-b>0)，本题目是想问，哪一个选项能是(a>b)的充分不必要条件，逐项分析如下：

(A)选项，即(a-b>1)，故是充分不必要条件；

(B)选项，即(a-b>-1)，故是必要不充分条件；

(C)选项，即(a>b otRightarrow a^2>b^2)，且(a^2>b^2 otRightarrow a>b)(结合函数(y=x^2),举一个反例就行)，故既不充分也不必要条件；

(D)选项，(y=x^3)是增函数，即(a>bRightarrow a^3>b^3)，且(a^3>b^3 Rightarrow a>b)，故是充要条件；

故选(A);

已知函数(f(x)=ax^2+bx+c(a>0))，若(m)满足关于(x)的方程(2ax+b=0)，则下列选项中的命题为真命题的是【】

$A.$存在$xin R，f(x) < f(m)$

$B.$存在$xin R，f(x) > f(m)$

$C.$任意$xin R，f(x)leq f(m)$

$D.$任意$xin R，f(x)ge f(m)$

分析：由题目(m)满足关于(x)的方程(2ax+b=0)，即(m=-cfrac{b}{2a})，

又二次函数(f(x))开口向上，(x=-cfrac{b}{2a})为其对称轴，故其有最小值(f(-cfrac{b}{2a}))，

即(f(x)_{min}=f(-cfrac{b}{2a})=f(m))，故对任意(xin R)，(f(x)ge f(m)) ，故选(D)。

命题(p)：“(forall xin R，x^2+1ge 1，)”则其否定形式是什么。

分析：全称命题的否定是特称命题，故( eg p：exists x_0in R，x_0^2+1<1)。

【2016•浙江】命题(“)任意(xin R)，存在(nin N^*)，使得(nge x^2) (”)的否定形式是【】

$A.$任意$xin R$，存在$nin N^*$，使得$n< x^2$

$B.$任意$xin R$，任意$nin N^*$，使得$n< x^2$

$C.$存在$xin R$，存在$nin N^*$，使得$n< x^2$

$D.$存在$xin R$，任意$nin N^*$，使得$n< x^2$

法1：对于(forall xin R)，要找到合适的(n)，使得(nge x^2)，此时我们只要取(n=[x^2+1])即可，故满足题意的(n)一定存在，故原命题为真，其否定形式自然就是假命题，即存在(xin R)，任意(nin N^*)，使得(n< x^2)，故选(D)。

法2：利用全称命题的否定形式解题，选(D)。

命题(“)任意(nin N^*)，(f(n)in N^*)且(f(n)leqslant n) (”)的否定形式为【】

$A.$任意$nin N^*$，$f(n) otin N^*$且$f(n)>n$

$B.$任意$nin N^*$，$f(n) otin N^*$或$f(n)>n$

$C.$存在$n_0in N^*$，$f(n_0) otin N^*$且$f(n_0)>n_0$

$D.$存在$n_0in N^*$，$f(n_0) otin N^*$或$f(n_0)>n_0$

分析：利用全称命题的否定形式解题， 选(D)。

已知(“)命题(p：(x-m)^2>3(x-m))(”)是(“)命题(q：x^2+3x-4<0)(”)成立的必要不充分条件，则实数(m)的取值范围为________.　

【解析】先化简命题(p)，由((x-m)^2>3(x-m))，得到(x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0)，

即(x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0)，即((x-m)[x-(m+3)]>0)，

则有(p：x>m+3)或(x<m；q：-4<x<1)；

因为(p)是(q)成立的必要不充分条件，则({xmid-4<x<1}subsetneqq {xmid x>m+3或x<m})，

所以(m+3≤-4)或(m≥1)，即(m≤-7)或(m≥1)，

故(m)的取值范围为((-infty，-7]cup[1，+infty))。

【命题中的否定】已知(M)是不等式(cfrac{ax+10}{ax-25}leq 0)的解集，且(5 otin M)，则(a)的取值范围是___________.

法1：直接法求解，由于(x=5)时不等式不成立，

即(cfrac{5a+10}{5a-25}>0)或(5a-25=0)，解得(a<-2)或(age 5)，故(a)的取值范围是((-infty，-2)cup [5，+infty))。

法2：间接法，正难则反，补集思想

令(5in M)，代入不等式(cfrac{5a+10}{5a-25}leq 0)，解得解集为(A=[-2，5))；

又由于原题(5 otin M)，故取集合(C_RA=(-infty，-2)cup [5，+infty))，即为所求。

【数学归纳法+等价命题】某个命题与自然数(n)有关，若(n=k(kin N^*))时命题成立，那么可以推得当(n=k+1)时命题也成立。现已知当(n=5)时，该命题不成立，那么可以推得【】

$A.$当$n=6$时，该命题不成立

$B.$当$n=6$时，该命题成立

$C.$当$n=4$时，该命题不成立

$D.$当$n=6$时，该命题成立

分析：选(C)，本题目考查数学归纳法和命题的等价性。

如果认定原命题为真，则其逆否命题是：“若(n=k+1(kin N^*))时命题不成立，则(;;n=k;;)时命题也不成立。”也为真，

这样由于题目已知当(n=5)时，该命题不成立，则可以推出当(n=4)时，该命题不成立，而且当(n=3，2，1)时，该命题也不成立。

故选(C).

【转化划归+分类讨论】设集合(A={xmid -2-a<x<a，a>0})，命题(p)：(1in A)，命题(q)：(2in A)，若(p)或(q)为真命题，(p)且(q)为假命题，则实数(a)的取值范围是【】

$A.{amid 0< a <1$或$a>2}$

$B.{amid 0< a <1$或$age 2}$

$C.{amid 1< a leq 2}$

$D.{amid 1leq aleq 2}$

法1：由(p)或(q)为真命题，(p)且(q)为假命题可知，转化为命题(p) 和(q)必然是一真一假；

当(p)真且(q)假时，有(left{egin{array}{l}{-2-a<1<a}\{2ge a或 2leq -2-a}end{array} ight.)，解得(1<aleq 2)；

当(p)假且(q)真时，有(left{egin{array}{l}{1ge a或 1leq -2-a}\{-2-a<2<a}end{array} ight.)，解得(ain varnothing)；

综上，(1<aleq 2)；故选(C)。

法2：利用运动观点求解，做出区间((-2-a，a))，然后让参数(a)从(0)到(3)逐渐增大，

当(a=0)时，设给定区间为(A)，则(A=(-2，0))，此时(1 otin A)且(2 otin A)，故不满足题意；

当(a=1)时，则(A=(-3，1))，此时(1 otin A)且(2 otin A)，故不满足题意；

当(a=1.5)时，则(A=(-3.5，1.5))，此时(1in A)且(2 otin A)，故满足题意；

当(a=2)时，则(A=(-4，2))，此时(1in A)且(2 otin A)，故满足题意；

当(a=3)时，则(A=(-5，3))，此时(1in A)且(2in A)，故不满足题意；

综上可知，参数(a)的取值只能是(1<aleq 2)；选(C).

已知命题(p)：(x^2+2x-3>0)，命题(q)：(cfrac{1}{3-x}>1)，若“( eg q 且p)”为真，则(x)的取值范围是____________。

分析：由“( eg q 且p)”为真，可知(p)真(q)假；

由(p)为真，则(x^2+2x-3>0)，解得(x<-3)或(x>1)；若(q)为真，则(cfrac{1}{3-x}>1)，解得(2<x<3)，

故(q)为假时，得(xleq 2或xge 3)，故由(p)真(q)假可知，

满足条件(left{egin{array}{l}{x<-3或x>1}\{xleq 2或xge 3}end{array} ight.)

即(xin (-infty，-3)cup(1，2]cup[3，+infty))。

辨析：命题(q)：(cfrac{1}{3-x}>1)，则( eg q)：应该为(cfrac{1}{3-x}leq 1)或(3-x=0)，而不是(cfrac{1}{3-x}leq 1)。

已知命题(p)：(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，

命题(q)：((x-1)^2>m)的解集为(R)，若命题"(p)且(q)”为假，“(p)或(q)”为真，那么(m)的取值范围是________。

分析：由题目可知，

若(p)为真，则(1-2m>0)，解得(m<cfrac{1}{2})(依托(y=cfrac{1}{x})的单调性)；

若(q)为真，由(m<(x-1)^2)对(R)恒成立，可知(m<0)，

由命题"(p)且(q)”为假，“(p)或(q)”为真可知，命题(p) 和(q)必然是一真一假；

当(p)真且(q)假时，有(left{egin{array}{l}{m<cfrac{1}{2}}\{mge 0}end{array} ight.)

解得(0leq m< cfrac{1}{2})；

当(p)假且(q)真时，有(left{egin{array}{l}{mge cfrac{1}{2}}\{m< 0}end{array} ight.)

解得(min varnothing)；

故(m)的取值范围是([0，cfrac{1}{2}))。

辨析：本题目利用函数(f(x))的单调性求参数的取值范围时，既可以利用单调性的性质，

也可以利用导数法，但是导数法很容易出错。

导数法：由(f(x)=cfrac{1-2m}{x})在区间((0，+infty))上单调递减，则有

(f'(x)=-(1-2m)cfrac{1}{x^2}leq 0)在区间((0，+infty))上恒成立，

即(2m-1leq 0)，即(mleq cfrac{1}{2})，这个结果是错误的，

原因是缺少验证，当(m=cfrac{1}{2})时， 函数(f(x)=0)为常函数，

不符合题意，故舍去，即(m<cfrac{1}{2})。

设(p)：存在(xin (1，cfrac{5}{2}))，使函数(g(x)=log_2(tx^2+2x-2))有意义，若( eg p)为假命题，则实数(t)的取值范围是__________.

分析：由题目可知，命题(p)为真命题，则

(exists xin(1，cfrac{5}{2}))，使得(f(x)=tx^2+2x-2ge 0)能成立，

分离参数可得，(t>cfrac{2-2x}{x^2})对(xin(1，cfrac{5}{2}))能成立，

令(h(x)=cfrac{2-2x}{x^2})，(xin(1，cfrac{5}{2}))，需要求(h(x)_{min})，

(h'(x)=cfrac{(2-2x)'cdot x^2-(2-2x)cdot 2x}{(x^2)^2}=cfrac{2(x-2)}{x^3})

(xin (1，2))时，(h'(x)<0)，(h(x))单调递减，

(xin (2，cfrac{5}{2}))时，(h'(x)>0)，(h(x))单调递增，

故(h(x)_{min}=h(2)=-cfrac{1}{2})，故(t>-cfrac{1}{2})

即(tin (-cfrac{1}{2}，+infty))。

【2018(cdot)太原模拟】【凤中2019理科资料微课时练习三的第6题】已知命题(p)：(exists x_0in R)，(e^{x_0}-mx_0=0)，命题(q)：(forall xin R)，(x^2+mx+1ge 0)，若(plor( eg q))为假命题，求实数(m)的取值范围。

【解析】由复合命题真值表可知，(plor( eg q))为假命题，

则(p)和( eg q)都为假命题，即(p)假(q)真。

先说命题(q)：(forall xin R)，(x^2+mx+1ge 0)，为真命题，

则属于恒成立命题，由(Delta=m^2-4leq 0)，解得(-2leq mleq 2)；

即(q)为真，则有(-2leq mleq 2)；

以下重点研究命题(p)，而由题目可知，

( eg p)：(forall xin R)，(e^x-mx eq 0)，为真命题。

即方程(e^x-mx =0)无实根，此时准备分离参数：

思路一：由不完全分离参数法，得到方程(mx= e^x) 无实根，

即函数(y=e^x)和函数(y=mx)的图像没有交点。做出辅助图像如右所示，

设直线(y=mx)与曲线(y=e^x)相切于点(P(x_0，y_0))，

则(left{egin{array}{l}{m=e^{x_0}①}\{y_0=e^{x_0}②}\{y_0=mx_0③}end{array} ight.)

(上述方程的来源是：从斜率相等角度，从切点在曲线上的角度，从切点在直线上的角度)

解得切点坐标为(P(1，e))，(m=e)，即二者相切时的斜率为(e)，

故由图可知，两个函数图像没有交点时，(0leq m < e)。

思路二：由完全分离参数法，得到，方程(m=cfrac{e^x}{x})无实根，

即函数(y=m)和函数(y=cfrac{e^x}{x})的图像没有交点。

令(g(x)=cfrac{e^x}{x})，下面用导数研究其单调性，定义域为((-infty，0)cup(0，+infty))，

(g'(x)=cfrac{e^xcdot x-e^xcdot 1}{x^2}=cfrac{e^x(x-1)}{x^2})，

则(xin (-infty，0))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (0，1))时，(g'(x)<0)，(g(x))单调递减，

(xin (1，+infty))时，(g'(x)>0)，(g(x))单调递增，且(g(1)=cfrac{e^1}{1}=e)，

在同一个坐标系中做出函数(y=m)和函数(y=g(x))的图像，(做函数(g(x))的图像时务必要注意函数值的正负)

由图像可知，两个函数图像没有交点时，(0 leq m < e)

故(e^x-mx eq 0)时，得到(0leq m<e)，此时(p)为假，

综上，(p)为假且(q)为真时，

必有(left{egin{array}{l}{-2leq mleq 2}\{ 0leq m<e}end{array} ight.)

故(0leq mleq 2)，即实数(m)的取值范围为([0，2])。

• 数学知识：①简单命题的真假判断；复合命题真值表；②函数与方程知识；方程(f(x)-g(x)=0)的根的个数；等于函数(h(x)=f(x)-g(x))的零点个数；也等于函数(y=f(x))与函数(y=g(x))的图像的交点个数；③导数法研究函数的单调性，做函数的简图；④求曲线的切线；列、解相关的方程组；

• 数学经验：①将命题转化为恒成立和能成立命题；②数与形的不断转化；③分离参数的常用方法：

• 本题拓展：①(exists xin R)，使得方程(e^x-mx=0)有解，求参数(m)的取值范围。((-infty，0)cup [e，+infty))

②若方程(e^x-mx=0)的解集不是空集，求参数(m)的取值范围。((-infty，0)cup [e，+infty))

③用导数方法多练习这些函数的图像，(y=cfrac{e^x}{x})；(y=xcdot e^x)；(y=cfrac{lnx}{x})；(y=xcdot lnx)；

④函数(y=e^x)和函数(y=x+1)相切于点((0，1))，你能说明吗？

⑤注意函数(y=kx+1)，(y=kx^2)，(y=k|x|)中的(k)的作用。

已知函数(f(x))的定义域为((a，b))，若(“exists x_0in (a，b),f(x_0)+f(-x_0) eq 0”)是假命题，则(f(a+b))=______________。

分析：由题可知，(“forall x_0in (a，b),f(x_0)+f(-x_0)= 0”)是真命题，即(f(-x)=-f(x))，

即函数(f(x))是奇函数，则(a+b=0)，即(f(a+b)=f(0)=0)；

对应练习

已知命题(p：exists x_0in R)，((m+1)(x_0^2+1)leq 0)；命题(q：forall xin R)，(x^2+mx+1>0)恒成立，若(pland q)为假命题，则实数(m)的取值范围是_________.

分析：若(p)为真，则(mleq -1)，若(q)为真，则(-2<m<2)，则(pland q)为真时，(-2<mleq -1)，

故(pland q)为假命题，则取上述结果的补集得到，((-infty，-2]cup(-1，+infty))。

教学研究

命题(p:)若(a^2<b^2)，则(a<b)；写出命题(p)的非命题；

思考1：我们知道，由于(a^2<b^2)，只能得到(|a|<|b|)，不能得到(a<b)，故命题(p)为假命题，

那么其否定命题( eg p)应该为真命题；按照命题的否定的写法，

( eg p)应该为：若(a^2<b^2)，则(ageqslant b)，但是我们知道这个也是假命题；

比如由(2^2<4^2)，不能得到(2geqslant 4)；说明这样的作法有问题；

思考2：若这样来思考，之所以我们认为命题(p)为假命题，是因为我们认为，对任意的(a^2<b^2)，都能得到(a<b)，

这是错误的，比如(2^2<(-3)^2)，但是不能得到(2<-3)，故为假命题；

这样我们按照全称命题的否定形式得到，( eg p:) 存在实数(a)，(b)，虽然(a^2<b^2)，但是(ageqslant b)成立；真命题；

开语句：无法判断其真假含有变元的语句，如(x+2>0)，开语句不是命题；

但实际教学中我们碰到的绝大多数为假言命题，如“若(p(x))，则(q(x))”，其并不是开语句，而是全称命题，只不过用语言表达时省略了全称量词，

如：若(x>3)，则(x>5)；即“任意大于(3)的实数都大于(5)”，而全称命题的否定是存在命题；

故其否定不是：若(x>3)，则(xleqslant 5)；而是：存在实数(x)，使得(x>3)且(xleqslant 5)；这显然是真命题。

【2020届宝鸡质检3文理科第3题】命题“偶函数的图像关于(y)轴对称”的否定是【】

$A.$所有偶函数的图像都不关于$y$轴对称

$B.$不是偶函数的图像都关于$y$轴对称

$C.$存在一个偶函数的图像不关于$y$轴对称

$D.$存在一个偶函数的图像关于$y$轴对称

分析：原命题的内涵是所有偶函数的图像关于(y)轴对称，是全称命题，故其否定是特称命题，

则其否定是“存在一个偶函数的图像不关于(y)轴对称”，即选项(C)正确；

解后反思：①对易错选项(A)的思考，

有些学生认为，原命题可以改写为“如果一个函数是偶函数，则其图像关于(y)轴对称”，

那么其否定应该是“如果一个函数是偶函数，则其图像不关于(y)轴对称”，

即所有偶函数的图像都不关于(y)轴对称，则选项(A)正确，这个理解是错误的，

以(n)个偶函数为例，每一个函数关于(y)轴的对称情况，自然分为两种情形：对称和不对称，

那么所有的情形应该有(2^n)种，则都关于(y)轴对称，只是其中的一种情形，

都不关于(y)轴对称的情形，也只是其中的一种情形，

那么要否定都关于(y)轴对称，其否定应该包含(2^n-1)种，

即应该用不都关于(y)轴对称来否定，而不是用都不关于(y)轴对称来否定，

这样选项(A)是错误的；

我们也可以用“两个数都是偶数”的否定来理解，其反面包含一奇一偶，一偶一奇，两个奇数共三种情形(2^2-1)，

都不是偶数只包含两个奇数这一种情形，不都是偶数包含有一奇一偶，一偶一奇，两个奇数三种情形；

②偶函数的图像都关于(y)轴对称，真命题；关于(y)轴对称的都是偶函数，假命题；

由于有些图形虽然关于(y)轴对称，但是其可能不是函数，比如(x^2+y^2=1)，只能称作曲线，不能称作函数；

若改写为关于(y)轴对称的函数都是偶函数，这时就是真命题；